Wielomiany

Gdy masz już opanowane wymienione wyżej zagadnienia, to możesz spokojnie przystąpić do uczenia się wielomianów.
Zacznijmy od określenia kilku podstawowych pojęć.

Jednomian - to wyrażenie algebraiczne składające się z jednej liczby (współczynnika liczbowego) oraz ewentualnie jednej lub kilku literek (mogą być w różnych potęgach).

Oto przykładowe jednomiany: \[5x,\qquad 101,\qquad -\frac{3}{2}x^2,\qquad 12a^5,\qquad -2xy,\qquad 5x^2yz^3\]

Cały rozdział poświęcony jednomianom znajdziesz tutaj.

Dwumian - to wyrażenie algebraiczne składające się z dwóch jednomianów połączonych znakiem dodawania lub odejmowania.

Przykłady dwumianów: \[x-3,\quad 5x^2+2x,\quad x^2+y,\quad ax^2+bx,\quad 2-y^5\] Mówiąc trochę inaczej - każdy dwumian składa się z dwóch elementów (z dwóch mian).

Trójmian - to wyrażenie algebraiczne składające się z trzech jednomianów połączonych znakami dodawania lub odejmowania.

Przykładami trójmianów są: \[x^2+5x+6,\quad ax^2+bx+c,\quad x^10-2x^7+3,\quad x+y+z\] Mówiąc trochę inaczej - każdy trójmian składa się z trzech elementów (z trzech mian).

Jak można zatem nazwać wyrażenie postaci: \[x^5-2x^2+x+7\] Możemy powiedzieć - czwórmian.

A jak nazwać wyrażenie postaci: \[x^{11}-2x^6-3x^5+x^2-5x\] Oczywiście możemy powiedzieć - pięciomian.

Zamiast jednak wymyślać kolejne nazwy, to powiemy krótko - wielomian.

Uwaga!
Wielomianem można nazwać również trójmian, dwumian, a nawet jednomian.

Wielomiany mogą składać się teoretycznie z wielu zmiennych (w ich wzorze może występować kilka różnych literek), przykładowo: \[x^9-y^7+x-y+1,\quad x^2y^2-z,\quad x^2+2xy-y^3+xyz\]

W praktyce zajmujemy się tylko wielomianami jednej zmiennej (np. \(x\)), przykładowo: \[2x^2+3x+5,\quad x+1,\quad x^3-x^2+x+1,\quad x^{100}-2\]

Definicja

Wielomianem stopnia \(n\) zmiennej \(x\) nazywamy wyrażenie postaci: \[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0\] gdzie \(a_{n}, a_{n-1},...,a_2,a_1,a_0\) są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, \(n \in \mathbb{N}\) oraz \( a_{n}\neq 0 \).

Oto przykłady wielomianów zmiennej \(x\): \[3x-5,\quad -x^2+5x-1,\quad x^2-1,\quad x^3-7x-1\]

Funkcją wielomianową nazywamy funkcję, której wzór jest wielomianem.

Na funkcje wielomianowe często mówi się po prostu "wielomiany". Funkcje wielomianowe często oznaczamy za pomocą literki \(W\). Innymi często stosowanymi literkami są również: \(P\), \(Q\), \(R\).

Oto kilka przykładowych wielomianów zapisanych w postaci funkcji:

\(W(x)=3x-5\)
\(W(x)=-x^2+5x-1\)
\(P(x)=x^2-1\)
\(P(x)=x^3-7x-1\)

Jak widać do zapisania funkcji wielomianowej możemy posłużyć się nawet zwykłą literką \(f\). Tak naprawdę nie ma większego znaczenia jakiej literki użyjemy. W podręcznikach szkolnych najczęściej spotkasz się z literką \(W\).