Rozłożenie wielomianu na czynniki, polega na zapisaniu jego wzoru w postaci
iloczynu nawiasów.
Taki sposób zapisu wielomianu nazywamy postacią iloczynową.
Poniżej znajdują się przykładowe wielomiany, zapisane w dwóch postaciach - ogólnej
i iloczynowej.
| Numer przykładu |
Postać ogólna |
Postać iloczynowa |
| 1. |
\(W(x) = x^2 - 4\) |
\(W(x) = (x - 2)(x + 2)\) |
| 2. |
\(W(x) = x^2 - 25\) |
\(W(x) = (x - 5)(x + 5)\) |
| 3. |
\(W(x) = x^2 - 6x + 9\) |
\(W(x) = (x - 3)^2\) |
| 4. |
\(W(x) = x^2 + 5x + 6\) |
\(W(x) = (x + 2)(x + 3)\) |
| 5. |
\(W(x) = x^2 + x - 30\) |
\(W(x) = (x - 5)(x + 6)\) |
| 6. |
\(W(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4\) |
\(W(x) = (x - 2)(x + 2)(x + 1)\) |
| 7. |
\(W(x) = x^3 - 2x^2 - 9x + 18\) |
\(W(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 3)\) |
| 8. |
\(W(x) = 3x^3 + 4x^2 - 147x - 196\) |
\(W(x) = (x - 7)(x + 7)(3x + 4)\) |
| 9. |
\(W(x) = x^3 + 4x^2 - 7x - 10\) |
\(W(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 5)\) |
| 10. |
\(W(x) = x^3 - 8\) |
\(W(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\) |
| 11. |
\(W(x) = x^3 + 5x\) |
\(W(x) = x(x^2 + 5)\) |
| 12. |
\(W(x) = x^4 - 16\) |
\(W(x) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\) |
| 13. |
\(W(x) = x^4 + 4x^3 + x^2 - 8x - 6\) |
\(W(x) = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x + 1)(x +
3)\) |
| 14. |
\(W(x) = x^2 + 1\) |
nie istnieje |
| 15. |
\(W(x) = x^2 - x + 5\) |
nie istnieje |
Jak widać na przykładach dwóch ostatnich wielomianów, rozkład na czynniki nie
zawsze musi istnieć.
Jeżeli natomiast mamy dany wielomian w postaci iloczynowej, to zawsze możemy łatwo
przekształcić go do postaci ogólnej. Wystarczy w tym celu wymnożyć nawiasy wyraz za wyrazem (tak jak
mnożymy wyrażenia algebraiczne).
Zapisz wielomian \(W(x) = (x - 2)(x + 1)\) w postaci ogólnej.
Wymnażamy nawiasy:
\[W(x) = (x - 2)(x + 1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2\]
Czyli:
\[W(x) = x^2 - x - 2\]
Łatwo można przekształcić wielomian z postaci iloczynowej na postać ogólną.
Trudniej jest wykonać przekształcenie w drugą stronę.
Rozłóż wielomian \(W(x) = x^2 - 4\) na czynniki.
Do zapisania
tego wielomianu w postaci iloczynowej wykorzystamy wzór skróconego mnożenia:
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\] Możemy zatem zapisać, że:
\[W(x) = x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\]
Zatem wielomian \(W(x)\)
po rozłożeniu na czynniki przyjmuje postać:
\[W(x) = (x - 2)(x +
2)\]
Więcej przykładów z rozkładania wielomianów na czynniki znajdziesz w następnym
rozdziale. Zostaną tam również przedstawione najczęściej stosowane sposoby rozkładu.
Metody
rozkładania wielomianów na czynniki zostały także omówione w poniższym nagraniu wideo.