Metoda rozwiązywania nierówności wielomianowych

Nierówności wielomianowe drugiego stopnia (czyli tzw. nierówności kwadratowe) rozwiązujemy metodami opisanymi na tej stronie.

Metoda rozwiązywania bardziej skomplikowanych nierówności wielomianowych (stopnia \(3\) i wyższych) jest następująca:

Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności, tak aby po prawej stronie zostało zero.
Od tego momentu lewą stronę nierówności traktujemy jako wzór wielomianu, którego wykres będziemy chcieli naszkicować.
Wyznaczamy miejsca zerowe otrzymanego wielomianu.
Rysujemy wykres wielomianu i odczytujemy z niego rozwiązanie.

Powyższą metodę omówimy teraz na poniższym przykładzie.

Rozwiąż nierówność \(x^3 + 5x^2 \lt 4x + 20\).

Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: \[x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \lt 0\] Lewą stronę naszej nierówności traktujemy jako wielomian: \[W(x) = x^3 + 5x^2 - 4x - 20\] Teraz musimy wyznaczyć miejsca zerowe tego wielomianu. W tym celu rozwiązujemy równanie: \[\begin{split} x^3 + 5x^2 - 4x - 20 &= 0\\[6pt] x^2(x + 5) - 4(x + 5) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x^2 - 4) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x - 2)(x + 2) &= 0\\[6pt] x + 5 = 0 \quad \lor \quad x - 2 = 0 \quad &\lor \quad x + 2 = 0\\[6pt] x = -5 \quad \lor \quad x = 2 \quad &\lor \quad x = -2 \end{split}\] Mamy już wyliczone miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\). Możemy zatem naszkicować wykres tego wielomianu:

Wracamy teraz do naszej nierówności i patrzymy na jej znak: \[x^3 + 5x^2 - 4x - 20 \lt 0\] W tej nierówności występuje znak mniejszości (\(\lt\)), zatem jej rozwiązaniem będzie zbiór tych wszystkich argumentów \(x\), dla których wykres wielomianu jest poniżej osi \(x\)-ów.
Zaznaczamy na wykresie odpowiednie przedziały:

Rozwiązaniem naszej nierówności jest zbiór: \[x \in (-\∞; -5) \cup (-2; 2)\]