Wykresy wielomianów - przykłady
Naszkicuj wykres wielomianu \(W(x) = x^3 - 4x\).
Przekształcamy
wielomian do postaci iloczynowej: \[\begin{split}W(x) &= x(x^2 - 4)\\[6pt] W(x) &= x(x - 2)(x +
2)\end{split}\] Teraz wyznaczamy miejsca zerowe: \[x(x - 2)(x + 2) = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor
\quad x - 2 = 0 \quad \lor \quad x + 2 = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x = 2 \quad \lor \quad
x = -2 \] Teraz określamy krotności tych pierwiastków: 
Nasz wielomian jest stopnia \(3\), a współczynnik liczbowy przy \(x^3\)
jest dodatni (jest równy dokładnie \(1\)).
Stopień wielomianu jest nieparzysty oraz
współczynnik liczbowy przy \(x\) w najwyższej potędze jest dodatni, więc zaczynamy rysowanie
wykresu od lewego dolnego rogu układu współrzędnych:
Naszkicuj wykres wielomianu \(W(x) = -6x^3 + 18x\).
Przekształcamy wielomian do postaci iloczynowej: \[\begin{split}W(x) &= -6x(x^2 - 3)\\[6pt] W(x)
&= -6x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \end{split}\] Teraz wyznaczamy miejsca zerowe: \[ -6x(x -
\sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{3} = 0 \quad \lor \quad x +
\sqrt{3} = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x = \sqrt{3} \quad \lor \quad x = -\sqrt{3} \] Teraz
określamy krotności tych pierwiastków: 
Nasz wielomian jest stopnia \(3\), a współczynnik liczbowy przy \(x^3\)
jest ujemny (jest równy dokładnie \(-6\)).
Stopień wielomianu jest nieparzysty oraz
współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest ujemny, więc zaczynamy rysowanie wykresu
od lewego górnego rogu układu współrzędnych:
Naszkicuj wykres wielomianu \(W(x) = (x + 4)^2(x + 1)(x - 3)\).
Wielomian jest dany w postaci iloczynowej, więc zaczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych: \[ (x
+ 4)^2(x + 1)(x - 3) = 0\\[6pt] x + 4 = 0 \quad \lor \quad x + 1 = 0 \quad \lor \quad x - 3 =
0\\[6pt] x = -4 \quad \lor \quad x = -1 \quad \lor \quad x = 3 \] Teraz określamy krotności tych
pierwiastków: 
Nasz wielomian jest stopnia \(4\), a współczynnik liczbowy przy \(x^4\) (po
wymnożeniu nawiasów) jest dodatni (jest równy dokładnie \(1\)).
Stopień wielomianu
jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy x w najwyższej potędze jest dodatni, więc
zaczynamy rysowanie wykresu od lewego górnego rogu układu współrzędnych:
Naszkicuj wykres wielomianu \(W(x) = -2(x + 7)^2(x + 3)^3(x - 1)^4(x - 3)^5(x -
6)^2\).
Wielomian jest dany w postaci iloczynowej, więc zaczynamy od wyznaczenia
miejsc zerowych: \[-2(x + 7)^2(x + 3)^3(x - 1)^4(x - 3)^5(x - 6)^2 = 0\\[6pt] x + 7 = 0 \quad
\lor \quad x + 3 = 0 \quad \lor \quad x - 1 = 0 \quad \lor \quad x - 3 = 0 \quad \lor \quad x -
6 = 0\\[6pt] x = -7 \quad \lor \quad x = -3 \quad \lor \quad x = 1 \quad \lor \quad x = 3 \quad
\lor \quad x = 6 \] Teraz określamy krotności tych pierwiastków: 
Nasz wielomian jest stopnia \(16\), a współczynnik liczbowy przy \(x^{16}\)
(po wymnożeniu nawiasów) jest ujemny (jest równy dokładnie \(-2\)).
Stopień
wielomianu jest parzysty oraz współczynnik liczbowy przy \(x\) w najwyższej potędze jest ujemny,
więc zaczynamy rysowanie wykresu od lewego dolnego rogu układu współrzędnych: