Nierówności wielomianowe - przykłady

Lewą stronę naszej nierówności traktujemy jako wielomian: \[W(x) = x^3 + 3x^2 - 3x - 9\] Wyznaczamy miejsca zerowe tego wielomianu, rozwiązując równanie: \[\begin{split} x^3 + 3x^2 - 3x - 9 &= 0\\[6pt] x^2(x + 3) - 3(x + 3) &= 0\\[6pt] (x + 3)(x^2 - 3) &= 0\\[6pt] (x + 3)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) &= 0\\[6pt] x + 3 = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{3} = 0 \quad &\lor \quad x + \sqrt{3} = 0\\[6pt] x = -3 \quad \lor \quad x = \sqrt{3} \quad &\lor \quad x = -\sqrt{3} \end{split}\] Mamy już wyliczone miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\). Możemy zatem naszkicować wykres tego wielomianu: Patrzymy teraz na znak w naszej nierówności. Jest to znak mniejszości (\(\lt\)). Zaznaczamy zatem ten fragment wykresu, który znajduje się pod osią \(x\)-ów. Od razu zaznaczamy również odpowiednie przedziały na osi \(x\)-ów dla tych fragmentów wykresu. Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: \[x \in (-\∞; -3) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3})\]

Lewą stronę naszej nierówności traktujemy jako wielomian: \[W(x) = (-x - 2)(x - 3)(x - 6)\] Wyznaczamy miejsca zerowe tego wielomianu, rozwiązując równanie: \[\begin{split} (-x - 2)(x - 3)(x - 6) &= 0\\[6pt] -x - 2 = 0 \quad \lor \quad x - 3 = 0 \quad &\lor \quad x - 6 = 0\\[6pt] x = -2 \quad \lor \quad x = 3 \quad &\lor \quad x = 6 \end{split}\] Mamy już wyliczone miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\). Możemy zatem naszkicować wykres tego wielomianu: Patrzymy teraz na znak w naszej nierówności. Jest to znak mniejszości bądź równości (\(\le\)). Zaznaczamy zatem ten fragment wykresu, który znajduje się pod osią \(x\)-ów, wraz z miejscami zerowymi. Zaznaczamy również przedziały na osi \(x\)-ów, dla tych fragmentów wykresu. Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: \[x ∈ \langle -2; 3\rangle \cup \langle 6; +\∞ )\]

Lewą stronę naszej nierówności traktujemy jako wielomian: \[W(x) = -3x^3 + 15x\] Wyznaczamy miejsca zerowe tego wielomianu, rozwiązując równanie: \[\begin{split} -3x^3 + 15x &= 0\\[6pt] -3x(x^2 - 5) &= 0\\[6pt] -3x(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) &= 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{5} = 0 \quad &\lor \quad x + \sqrt{5} = 0\\[6pt] x = 0 \quad \lor \quad x = \sqrt{5} \quad &\lor \quad x = -\sqrt{5} \end{split}\] Mamy już wyliczone miejsca zerowe wielomianu \(W(x)\). Możemy zatem naszkicować wykres tego wielomianu: Patrzymy teraz na znak w naszej nierówności. Jest to znak większości (\(\gt\)). Zaznaczamy zatem ten fragment wykresu, który znajduje się nad osią \(x\)-ów. Od razu zaznaczamy również odpowiednie przedziały na osi \(x\)-ów dla tych fragmentów wykresu. Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: \[x \in (-\∞; -\sqrt{5}) \cup (0; \sqrt{5})\]