Równania wielomianowe drugiego stopnia (czyli tzw. równania kwadratowe)
rozwiązujemy metodami opisanymi na
tej stronie.
Metoda
rozwiązywania bardziej skomplikowanych równań wielomianowych (stopnia \(3\) i wyższych) jest
następująca:
- przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania, tak aby po prawej stronie zostało zero,
- rozkładamy lewą stronę na iloczyn czynników,
- przyrównujemy każdy nawias do zera,
- rozwiązujemy kilka prostych równań, otrzymując w rezultacie rozwiązania początkowego równania
wielomianowego.
Cały powyższy algorytm przedstawimy teraz na poniższym przykładzie.
Rozwiąż
równanie \(x^3 + 5x^2 = 2x + 10\).
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
\[x^3 + 5x^2 - 2x - 10 = 0\] Teraz rozkładamy lewą stronę na iloczyn czynników. Standardowo
wyciągamy wspólny czynnik przed nawias z pierwszych dwóch wyrazów oraz z ostatnich dwóch
wyrazów:
\[\begin{split} x^2(x + 5) - 2(x + 5) &= 0\\[6pt] (x + 5)(x^2 - 2) &= 0\\[6pt] (x
+ 5)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) &= 0\\[6pt] \end{split}\] Teraz przyrównujemy każdy z nawiasów
do zera: \[x + 5 = 0 \quad \lor \quad x - \sqrt{2} = 0 \quad \lor \quad x + \sqrt{2} = 0\] i
otrzymujemy ostatecznie rozwiązania: \[x = -5 \quad \lor \quad x = \sqrt{2} \quad \lor \quad x =
-\sqrt{2}\]
Niektóre proste równania wielomianowe można rozwiązać w szybszy sposób.
Rozwiąż równanie \(3x^4 = 48\).
W tym równaniu niewiadoma \(x\)
występuje tylko w jednym miejscu, zatem liczymy od razu: \[\begin{split} 3x^4 &= 48 \qquad // :
3\\[6pt] x^4 &= 16\\[6pt] x^2 = 4 \quad &\lor \quad x^2 = -4 \end{split}\] Równanie \(x^2=-4\)
jest sprzeczne, zatem rozwiązanie to: \[\begin{split} x^2 &= 4\\[6pt] x = 2 \quad &\lor \quad x
= -2 \end{split}\]
Więcej przykładów na rozwiązywanie równań wielomianowych znajdziesz w zadaniach
z rozwiązaniami wideo w kolejnym dziale.