Funkcje - definicje i własności

Pojęcie funkcji jest bardzo ważne i często spotykane w matematyce.
Dzięki funkcjom możemy opisywać otaczający nas świat oraz badać zjawiska jakie w nim zachodzą.

Najczęściej funkcję definiuje się jako przyporządkowanie każdemu elementowi jednego zbioru, dokładnie jednego elementu drugiego zbioru.

Mamy worek z trzema prezentami: piłką, książką i odtwarzaczem mp3.
Adam, Bartek i Czarek otrzymują po jednym prezencie z tego worka.
Załóżmy, że Adam dostał książkę, Bartek piłkę, a Czarek odtwarzacz mp3.

Takie przyporządkowanie przedmiotów do chłopców możemy nazwać funkcją.
Powiemy, że:

funkcja przyporządkowuje Adamowi książkę,
funkcja przyporządkowuje Bartkowi piłkę,
funkcja przyporządkowuje Czarkowi odtwarzacz mp3.

Jeżeli oznaczymy naszą funkcję literką \(f\), to powyższe zdania możemy zapisać krócej: \[ f(\text{Adam}) = \text{książka}\\[6pt] f(\text{Bartek}) = \text{piłka}\\[6pt] f(\text{Czarek}) = \text{odtwarzacz mp3} \] Funkcję możemy zilustrować za pomocą grafu:

Funkcja wskazuje jednoznacznie jaki prezent otrzymał wybrany chłopiec.
Jeżeli zadamy pytanie: Co otrzymał Bartek?, to otrzymamy konkretną odpowiedź: piłkę.

Załóżmy, że Adam Bartek i Czarek losują jeden prezent z worka, który zawiera kilka książek, piłek i odtwarzaczy mp3.
W wyniku losowania Adam otrzymał odtwarzacz mp3, a Bartek i Czarek dostali po piłce.

Każdy z chłopców otrzymał jeden konkretny prezent, zatem to przyporządkowanie możemy nazwać funkcją.

Powiemy, że:

funkcja przyporządkowuje Adamowi odtwarzacz mp3,
funkcja przyporządkowuje Bartkowi piłkę,
funkcja przyporządkowuje Czarkowi piłkę.

Jeżeli oznaczymy naszą funkcję literką \(f\), to powyższe zdania możemy zapisać krócej: \[ f(\text{Adam}) = \text{odtwarzacz mp3}\\[6pt] f(\text{Bartek}) = \text{piłka}\\[6pt] f(\text{Czarek}) = \text{piłka} \] Funkcję możemy zilustrować za pomocą grafu:

Rozważmy funkcję przyporządkowująca każdemu słowu pierwszą literę danego słowa.
Jeżeli oznaczymy naszą funkcję literą \(f\), to otrzymamy np.: \[f(\text{Adam}) = \text{A}\] \[f(\text{Bartek}) = \text{B}\] \[f(\text{Czarek}) = \text{C}\] \[f(\text{dom}) = \text{d}\] \[f(\text{zebra}) = \text{z}\] \[f(\text{zegarek}) = \text{z}\] Graficzna ilustracja funkcji:

Rozważmy funkcję \(f\) przyporządkowująca każdemu słowu liczbę liter z których składa się dane słowo.
W tym przypadku działanie naszej funkcji będzie następujące:
\[f(\text{Adam}) = 4\] \[f(\text{Bartek}) = 6\] \[f(\text{Czarek}) = 6\] \[f(\text{dom}) = 3\] \[f(\text{zebra}) = 5\] \[f(\text{zegarek}) = 7\] Graficzna ilustracja funkcji:

W tym nagraniu wideo omawiam pojęcie funkcji na prostych przykładach.