Funkcje parzyste i nieparzyste

Funkcja jest parzysta, jeżeli spełnia równanie: \[f(x)=f(-x)\] czyli, gdy jest symetryczna względem osi \(y\)-ów.

Funkcja jest nieparzysta, jeżeli spełnia równanie: \[f(x)=-f(-x)\] czyli, gdy jest symetryczna względem początku układu współrzędnych.

Funkcja \(f(x)=|x|\) jest parzysta.

Funkcja jest symetryczna względem osi \(y\)-ów. Korzystając z definicji możemy zapisać: \[f(-x)=|-x|=|x|=f(x)\] Czyli: \[f(-x)=f(x)\] Co uzasadnia parzystość funkcji.

Funkcja \(f(x)=x^2-1\) jest parzysta.

Z wykresu widać parzystość, ponieważ funkcja \(f(x)\) jest symetryczna względem osi \(y\)-ów.
Sprawdzamy parzystość z definicji: \[f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)\] Czyli: \[f(-x)=f(x)\] Zatem funkcja \(f(x)=x^2-1\) jest parzysta.

Funkcja \(f(x)=x^3\) jest nieparzysta.

Funkcja \(f(x)\) jest symetryczna względem początku układu współrzędnych.
Sprawdzamy nieparzystość z definicji: \[-f(-x)=-(-x)^3=x^3=f(x)\] Czyli: \[-f(-x)=f(x)\] Zatem funkcja \(f(x)=x^3\) jest nieparzysta.

Funkcja \(f(x)=\sin x\) jest nieparzysta.

Funkcja \(f(x)\) jest symetryczna względem początku układu współrzędnych, zatem jest nieparzysta: \[-f(-x)=-\sin (-x)=-(-\sin x)=\sin x=f(x)\] Czyli: \[-f(-x)=f(x)\] Zatem funkcja \(f(x)=\sin x\) jest nieparzysta.

Funkcja \(f(x)=\cos x+\frac{x^2}{100}\) jest parzysta.

Funkcja \(f(x)\) jest sumą dwóch funkcji parzystych:

funkcja \(y=\cos x\) jest parzysta,
funkcja \(y=\frac{x^2}{100}\) jest parzysta.

Sprawdzamy jeszcze z definicji: \[f(-x)=\cos (-x)+\frac{(-x)^2}{100}=\cos x+\frac{x^2}{100}=f(x)\] Czyli: \[f(-x)=f(x)\] Zatem funkcja \(f(x)=\cos x+\frac{x^2}{100}\) jest parzysta.

W powyższym przykładzie zauważyliśmy, że suma dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą. Podobnie jest z iloczynem. Iloczyn dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą.

Zbadaj parzystość funkcji \(f(x)=\sin x \cdot \cos x\).

Sprawdzamy czy funkcja jest parzysta: \[f(-x)=\sin (-x) \cdot \cos (-x)=-\sin x \cdot \cos x\ne f(x)\] Zatem funkcja nie jest parzysta. Zbadamy czy jest nieparzysta: \[-f(-x)=-\sin (-x) \cdot \cos (-x)=-(-\sin x) \cdot \cos x = \sin x \cdot \cos x= f(x)\] Zatem funkcja \(f(x)=\sin x \cdot \cos x\) jest nieparzysta.

W tym przykładzie mogliśmy również skorzystać ze wzoru trygonometrycznego: \[\sin 2x=2\sin x \cos x\] i zauważyć, że: \[ \begin{split} f(x)&=\sin x \cdot \cos x\\[6pt] f(x)&=\frac{1}{2}\cdot 2\sin x \cdot \cos x\\[6pt] f(x)&=\frac{1}{2}\cdot \sin(2x) \end{split} \] Z tego równoważnego wzoru funkcji \(f(x)\) łatwo widać nieparzystość funkcji, ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta.

W powyższym przykładzie zauważyliśmy, że iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją nieparzystą. To jest ogólna własność, która działa zawsze dla dwóch funkcji spośród których jedna jest parzysta, a druga nieparzysta.

Wybrane przykłady funkcji parzystych:

funkcje stałe: \(f(x)=a\), gdzie \(a\in \mathbb{R} \),
funkcje potęgowe o parzystym wykładniku: \(f(x)=x^{2n}\), gdzie \(n\in \mathbb{Z} \),
funkcja trygonometryczna cosinus: \(f(x)=\cos x\),
wielomiany z \(x\)-ami tylko w parzystych potęgach, np: \(f(x)=3x^8-2x^6+x^2+5\).

Wybrane przykłady funkcji nieparzystych:

funkcje liniowe: \(f(x)=ax\), gdzie \(a\in \mathbb{R} \),
funkcje potęgowe o nieparzystym wykładniku: \(f(x)=x^{2n+1}\), gdzie \(n\in \mathbb{Z} \),
funkcja trygonometryczna sinus: \(f(x)=\sin x\),
wielomiany z \(x\)-ami tylko w parzystych potęgach, np: \(f(x)=3x^7-2x^5+x^3+5x\).

Jedyną funkcją, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta jest funkcja stała równa zero: \[f(x)=0\]

Własności funkcji parzystych i nieparzystych

suma dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą,
suma dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą,
iloczyn dwóch funkcji parzystych jest funkcją parzystą,
iloczyn dwóch funkcji nieparzystych jest funkcją parzystą,
iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją nieparzystą.