Zacznijmy od przypomnienia takich pojęć jak argument funkcji oraz wartość
funkcji.
- argumenty funkcji to \(x\)-y (z osi poziomej układu współrzędnych)
- wartości funkcji to \(y\)-ki (z osi pionowej układu współrzędnych)
Definicja
Dziedzina funkcji - to zbiór wszystkich argumentów funkcji.
Równoważne definicje:
Dziedzina - to zbiór tych \(x\)-ów dla których określona
jest funkcja.
Dziedzina - to zbiór tych \(x\)-ów dla których istnieje wykres funkcji.
Dziedziną funkcji \(f(x) = \frac{1}{2}x - 1\) jest zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych, ponieważ pod \(x\)-a możemy podstawić dowolną liczbę rzeczywistą i obliczyć dla niej
wartość funkcji. Przykładowo: \[ f(4)=\frac{1}{2}\cdot 4-1=2-1=1\\[6pt] f(\sqrt{3})=\frac{1}{2}\cdot
\sqrt{3}-1=\frac{\sqrt{3}}{2}-1 \] Możemy też zauważyć, że podana funkcja jest funkcją liniową i jej
wykres istnieje dla każdego argumentu \(x\).

Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \).
Dziedziną każdej funkcji liniowej, kwadratowej i wielomianowej jest zbiór liczb
rzeczywistych.
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{1}{x}\).
Do wzoru tej funkcji nie można podstawić pod \(x\)-a liczby \(0\), ponieważ
nie wolno dzielić przez zero.
Wartość funkcji dla \(x=0\) nie istnieje, co ilustruje poniższa tabelka.
\(x\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(f(x)=\frac{1}{x}\) |
\(-\frac{1}{2}\) |
\(-1\) |
nie istnieje |
\(1\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(\frac{1}{3}\) |
Zatem dla \(x = 0\) nie istnieje wykres funkcji:

Dziedzina: \(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\).
Poniżej podaję dwa inne sposoby na zapisanie tej samej dziedziny.
Dziedzina: \(x\ne
0\).
Dziedzina: \(x\in (-\∞ ;0)\cup (0;+\∞ )\).
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x) =\sqrt{x}\).
Do wzoru funkcji \(f(x) =\sqrt{x}\) nie możemy podstawić pod \(x\)-a liczby
ujemnej, ponieważ nie istnieją pierwiastki z liczb ujemnych. Ta funkcja jest określona
tylko dla liczb dodatnich oraz zera.
\(x\) |
\(-3\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(f(x)=\sqrt{x}\) |
nie istnieje |
nie istnieje |
nie istnieje |
\(0\) |
\(1\) |
\(\sqrt{2}\) |
\(\sqrt{3}\) |
Wykres tej funkcji istnieje tylko dla \(x\)-ów nieujemnych:

Dziedzina: \(x\in \langle
0; +\∞ )\).
Poniżej podaję inny sposób zapisania tej samej dziedziny.
Dziedzina:
\(x\ge 0\).
Dziedzinę funkcji określamy zawsze gdy istnieje zagrożenie, że podstawiając do
wzoru jakąś wartość liczbową, otrzymamy działanie niedozwolone w matematyce.
Działania
niedozwolone w matematyce to:
- dzielenie przez \(0\),
- wyciąganie pierwiastka (parzystego stopnia) z liczby ujemnej,
- obliczanie logarytmu z liczby ujemnej,
- umieszczanie w podstawie logarytmu liczby ujemnej lub równej \(1\).
Wśród powyższych "zagrożeń" najważniejsze są dwa pierwsze. To z nimi spotykamy
się najczęściej.
W tym nagraniu wideo omawiam pojęcie dziedziny funkcji.
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=x+\frac{1-\sqrt{x+1}}{3\sqrt{1-2x}}\).
\(x\in \left\langle -1;\frac{1}{2}\right ) \)
Wyznacz dziedzinę funkcji \(f(x)=\frac{\sqrt{3-|x+2|}}{x(x+3)}\).
\(x\in \langle -5;-3)\cup (-3;0)\cup (0;1\rangle \)