Suma ciągu arytmetycznego
Sumę pierwszych \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego
możemy obliczyć ze wzoru: \[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\] albo ze wzoru:
\[S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\] Do obliczenia sumy ciągu arytmetycznego od wyrazu \(k\)-tego do
wyrazu \(n\)-tego, można skorzystać ze wzoru: \[S_n^k=\frac{a_k+a_n}{2}\cdot (n-k+1)\]
Oblicz sumę \(20\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym \(a_n =
3n + 1\).
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu: \[a_1 = 3\cdot 1 + 1 = 4\] Teraz
obliczamy \(20\) wyraz ciągu: \[a_{20} = 3\cdot 20 + 1 = 61\] Zatem szukana suma wynosi:
\[S_n=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20=\frac{4+61}{2}\cdot 20=65\cdot 10=650\]
Oblicz sumę
\(12\) początkowych wyrazów ciągu \(a_n=4n+1\).
\(20\) początkowych wyrazów ciągu \(a_n=3(n-1)+2\).
\(15\) początkowych wyrazów ciągu \(a_n=1+\frac{n}{2}\).
\(10\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie równym
\(-3\) i różnicy \(5\).
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest
równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
\(78\)
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są \(a_1=2\)
i
\(a_2=4\). Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( 30 \)
B.\( 110 \)
C.\( 220 \)
D.\( 2046 \)
B
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla którego suma pierwszych \(n\) wyrazów
wyraża się wzorem \(S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{11}{2}n\). Wówczas wartość wyrażenia
\(\frac{a_5+a_7}{2}\) jest równa
A.\( 11 \)
B.\( \frac{11}{2} \)
C.\( \frac{3}{2} \)
D.\( 3 \)
A
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równa \(
35 \). Pierwszy wyraz \( a_1 \) tego ciągu jest równy \( 3 \). Wtedy
A.\(a_{10}=\frac{7}{2} \)
B.\(a_{10}=4 \)
C.\(a_{10}=\frac{32}{5} \)
D.\(a_{10}=32 \)
B
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy:
\(a_1 = 7\) i \(a_8 = -49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( -168 \)
B.\( -189 \)
C.\( -21 \)
D.\( -42 \)
\(-168\)
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy:
\(a_1=-11\) i \(a_9=5\). Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A.\( -24 \)
B.\( -27 \)
C.\( -16 \)
D.\( -18 \)
B
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów
tego ciągu ma wartość:
A.\( 0 \)
B.\( 5 \)
C.\( 11 \)
D.\( -11 \)
A
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest
równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz
tego ciągu.
\(a_1 = -3\)
W ciągu arytmetycznym \((a_1,a_2,...,a_{39},a_{40})\) suma wyrazów tego ciągu o
numerach parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa
\(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.
\(10\)
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) suma trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu
jest równa \(1245\) oraz \(a_1=-2\). Wtedy
A. \(a_{30}=81\)
B. \(a_{30}=85\)
C. \(a_{30}=175\)
D. \(a_{30}=1247\)
B
W ciągu arytmetycznym
\(a_1=3\) oraz
\(a_{20}=7\). Wtedy suma
\(S_{20}= a_1+a_2+...+a_{19}+
a_{20}\) jest równa
A.\( 95 \)
B.\( 200 \)
C.\( 230 \)
D.\( 100 \)
D
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(26\), a suma pięciu początkowych
wyrazów tego ciągu jest równa \(70\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
\(a_1=2\)
Dane są dwa ciągi arytmetyczne: \(1, 4, 7,…\) oraz \(20, 21, 22,…\) Zsumowano \(n\)
początkowych wyrazów pierwszego ciągu i \(n\) początkowych wyrazów drugiego ciągu. Okazało się,
że otrzymano równe sumy. Wyznacz \(n\).
W ciągu arytmetycznym \(a_n\) dla \(n\ge 1\), \(a_1=8\) oraz \(a_1+a_2+a_3=33\).
Wtedy suma \(a_4+a_5+a_6\) jest równa
A.\( 44 \)
B.\( 60 \)
C.\( 69 \)
D.\( 93 \)
B
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dana jest wzorem
\(S_n=\frac{n^2-25n}{4}\), gdzie \(n\ge 1\). Różnica ciągu arytmetycznego \((b_n)\) jest równa
\(\frac{3}{2}\) oraz jego piąty wyraz jest równy \(8\). Wyznacz sumę \(17\) początkowych wyrazów
ciągu arytmetycznego \((c_n)\), wiedząc, że \(c_n=2b_n-a_8\), gdzie \(n\ge 1\).
\(518\frac{1}{2}\)
Suma \(23\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dla \(n\ge 1\) jest
równa \(1564\). Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów \(a_3\) i \(a_{21}\).
\(68\)
W skończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\) pierwszy wyraz \(a_1\) jest równy \(7\)
oraz ostatni wyraz \(a_n\) jest równy \(89\). Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
\(2016\). Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
\(42\)
Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu
arytmetycznego \((a_n)\) jest określona wzorem \(S_n=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_2\) jest równy
A.\( 3 \)
B.\( 6 \)
C.\( 7 \)
D.\( 10 \)
C
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\ge 1\).
Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
\(676368\)
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge 1\), dane są: wyraz
\(a_1=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_3=33\). Oblicz różnicę:
\(a_{16}-a_{13}\).
\(9\)
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego
dla \(n\ge 1\), jest równa \(30\). Ponadto \(a_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.
\(r=2\)
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem
\(S_n=3n^2+4n\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A.\( 45 \)
B.\( 31 \)
C.\( 21 \)
D.\( 11 \)
\[a_5=?\]
B
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla liczb naturalnych \(n\ge1\), wyraz
szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego
ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
\(a_1=-\frac{3}{4}\), \(r=\frac{1}{4}\)
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest
równy \(34\), a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa \(110\). Oblicz pierwszy wyraz i
różnicę tego ciągu.
\(a_1 = -2\), \(r = 4\frac{1}{2}\)
W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa
\(5\frac{1}{2}\), a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(12\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest
równy:
A.\( 1\frac{1}{2} \)
B.\( 4\frac{1}{2} \)
C.\( -\frac{1}{2} \)
D.\( 1 \)
A
Wyznacz liczbę
\(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego,
mając dane:
a)
\(S_n=407,\ \ a_1=62,\ \ a_n=12;\)
b)
\(S_n=1016{,}5,\ \ a_1=22,\ \ a_n=85;\)
c)
\(S_n=420,\ \ a_1=7,\ \ r=3;\)
d)
\(S_n=204,\ \ r=6,\ \ a_n=49;\)
e)
\(S_n=578,\ \ a_1=58,\ \ r=-3;\)
f)
\(S_n=456,\ \ r=-12,\ \ a_n=15;\)
Wyznacz różnicę
\(r\) wyrazów ciągu arytmetycznego,
mając dane:
a)
\(S_n=518,\ \ a_1=50,\ \ n=14;\)
b)
\(S_n=728,\ \ n=16,\ \ a_n=63;\)
c)
\(S_n=1675,\ \ n=25,\ \ a_n=1;\)
d)
\(S_n=2241,\ \ n=27,\ \ a_n=148;\)
Znajdź sumę trzydziestu kolejnych liczb będących wielokrotnościami \(9\)
(zaczynając od \(9\)).
\(4185\)
Znajdź sumę pięćdziesięciu kolejnych liczb będących wielokrotnościami \(12\)
(zaczynając od \(24\)).
\(15900\)
Znajdź sumę:
a)
wszystkich liczb całkowitych od \(0\) do \(150\) włącznie
b)
wszystkich liczb parzystych od \(0\) do \(150\) włącznie
c)
wszystkich liczb nieparzystych od \(0\) do \(150\)
Suma stu kolejnych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez \(7\) dają resztę
\(2\), wynosi \(43950\). Wyznacz najmniejszą i największą
z tych liczb.
Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu, którego suma \(n\) początkowych wyrazów
wyraża się wzorem:
d)
\(S_n=\frac{1}{2}n-\frac{1}{4}n^2;\)
Wykaż, że każdy z tych ciągów jest ciągiem arytmetycznym.