Różne zadania z ciągu arytmetycznego

Pan Jan spłacał kredyt w wysokości \(12\ 000\) zł w sześciu ratach, z których każda kolejna była o \(500\) zł mniejsza od poprzedniej. Pierwsza rata była równa:

A.\( 2750 \)zł

B.\( 3000 \)zł

C.\( 3250 \)zł

D.\( 3500 \)zł

C

Miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę \(40^\circ \). Różnica ciągu arytmetycznego wynosi:

A.\( 10^\circ \)

B.\( 20^\circ \)

C.\( 30^\circ \)

D.\( 40^\circ \)

B

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_3=13\) i \(a_5=39\). Wtedy wyraz \(a_1\) jest równy

A.\( 13 \)

B.\( 0 \)

C.\( -13 \)

D.\( -26 \)

C

Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \) . Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

A.\(40^\circ \)

B.\(50^\circ \)

C.\(60^\circ \)

D.\(70^\circ \)

C

Liczby \(x + 1, 2x + 2, 8\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).

\(x=\frac{5}{3}\)

Liczby \(x-1,\ 4,\ 8\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa

A.\( 3 \)

B.\( 1 \)

C.\( -1 \)

D.\( -7 \)

B

Liczby \(2, x-3, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).

\(x=7\)

Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).

\(a_{15}=72\)

Liczby \(x, 4, x+2\) są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa

A.\( 2 \)

B.\( 3 \)

C.\( 6 \)

D.\( 1 \)

B

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o wyrazach dodatnich. Wtedy

A.\( a_4+a_7=a_{10} \)

B.\( a_4+a_6=a_3+a_8 \)

C.\( a_2+a_9=a_3+a_8 \)

D.\( a_5+a_7=2a_8 \)

C

Liczby \(x, y, 19\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).

\(x=-1\), \(y=9\)

Ciąg \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\) jest arytmetyczny oraz \(a_3=10\) i \(a_4=14\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A.\( a_1=-2 \)

B.\( a_1=2 \)

C.\( a_1=6 \)

D.\( a_1=12 \)

B

Liczby \(7, a, 49\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy \(a\) jest równe

A.\( 14 \)

B.\( 21 \)

C.\( 28 \)

D.\( 42 \)

C

Trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równy \(4\), a trzydziesty piąty wyraz tego ciągu jest równy \(7\). Wówczas różnica ciągu \( (a_n) \) jest równa

A.\( 5 \)

B.\( 3 \)

C.\( \frac{5}{3} \)

D.\( \frac{3}{5} \)

D

Liczby \(2, \log_{\frac{1}{2}}x, 8\) są (w podanej kolejności) wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz \( x \).

\(x=\frac{1}{32}\)

Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \( 20^\circ \). Największy kąt tego czworokąta ma miarę:

A.\(150^\circ \)

B.\(135^\circ \)

C.\(120^\circ \)

D.\(60^\circ \)

C

Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) określony dla \( n\ge 1 \), w którym \( a_5=22 \) oraz \( a_{10}=47 \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) i różnicę \( r \) tego ciągu.

\(a_1=2\), \(r=5\)

Na ścianie kamienicy zaprojektowano mural utworzony z szeregu trójkątów równobocznych różnej wielkości. Najmniejszy trójkąt ma bok długości \( 1 \) m, a bok każdego z następnych trójkątów jest o \( 10 \) cm dłuższy niż bok poprzedzającego go trójkąta. Ostatni trójkąt ma bok długości \( 5{,}9 \) m. Ile trójkątów przedstawia mural?

A.\( 49 \)

B.\( 50 \)

C.\( 59 \)

D.\( 60 \)

B

Liczby \(1, 5, 501\) są odpowiednio pierwszym, drugim i ostatnim wyrazem skończonego ciągu arytmetycznego. Ile wyrazów ma ten ciąg?

A.\( 499 \)

B.\( 126 \)

C.\( 125 \)

D.\( 101 \)

B

Dane są punkty \(A=(1,2)\) oraz \(B=(3,1)\). Punkt \(M=(p,q)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Liczby \(p, 2q, x\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. Wówczas:

A.\( x=1 \)

B.\( x=2 \)

C.\( x=3 \)

D.\( x=4 \)

D

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny oraz \(a_1=2\), \(a_2=6\). Liczby \(a_3, x, \frac{x}{2}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz \(x\).

\(x=12\)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) określonym dla \(n\ge 1\) dane są \(a_1=-4\) i \(r=2\). Którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(156\)?

A.\( 81 \)

B.\( 80 \)

C.\( 76 \)

D.\( 77 \)

A

Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy \(444\), a ostatni jest równy \(653\). Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

\(10970\)

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

A.\( 77 \)

B.\( 84 \)

C.\( 91 \)

D.\( 98 \)

C

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla \(n\ge 1\) wzorem: \(a_n=2n-1\). Suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A.\( 101 \)

B.\( 121 \)

C.\( 99 \)

D.\( 81 \)

B

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla \(n\ge 1\), w którym \(a_{10}=11\) oraz \(a_{100}=111\). Wtedy różnica \(r\) tego ciągu jest równa

A.\( \frac{9}{10} \)

B.\( -100 \)

C.\( \frac{10}{9} \)

D.\( 100 \)

C

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\ge1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_2+a_9=a_4+a_k\), to \(k\) jest równe

A.\( 8 \)

B.\( 7 \)

C.\( 6 \)

D.\( 5 \)

Liczby: \(1, 3, x-11\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba \(x\) jest równa

A.\( 5 \)

B.\( 9 \)

C.\( 16 \)

D.\( 20 \)

C

Liczby: \(2x, 15, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba \(x\) jest równa

A.\( 1 \)

B.\( 10 \)

C.\( 11 \)

D.\( 22 \)

C

Liczby: \(2x+1, 7, 13x-2\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba \(x\) jest równa

A.\( 1 \)

B.\( 3 \)

C.\( 4 \)

D.\( 5 \)

A

Między liczby \(4\) i \(22\) wstaw pięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.

Między liczby \(65\) i \(35\) wstaw dziewięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.

Ile liczb trzeba wstawić między liczby \(16\) i \(250\), aby otrzymać ciąg arytmetyczny, którego suma wynosi \(1995\)?

Suma czwartego i siódmego wyrazu ciągu arytmetycznego wynosi \(86\), a suma drugiego i trzynastego wyrazu tego ciągu jest równa \(22\). Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego równa się \(27\), suma dwóch ostatnich wyrazów wynosi \(105\), a siódmy wyraz jest równy \(30\). Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu.

Drugi, szósty i ostatni wyraz ciągu arytmetycznego wynoszą odpowiednio \(2, 22, 222\). Znajdź pierwszy wyraz i liczbę wyrazów tego ciągu.

Dane są dwa ciągi arytmetyczne: \(1, 4, 7,…\) oraz \(20, 21, 22,…\) Zsumowano \(n\) początkowych wyrazów pierwszego ciągu i \(n\) początkowych wyrazów drugiego ciągu. Okazało się, że otrzymano równe sumy. Wyznacz \(n\).

Liczbę \(210\) podziel na siedem składników tak, aby tworzyły one malejący ciąg arytmetyczny i największy z nich był trzy razy większy od najmniejszego składnika.

W ciągu arytmetycznym piąty wyraz równa się \(25\), a iloraz otrzymany po podzieleniu wyrazu dwunastego przez trzeci jest o \(2\) większy od ilorazu otrzymanego po podzieleniu wyrazu szesnastego przez ósmy. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Pewien pan spłacił dług w wysokości \(5100\) zł w dwunastu ratach, z których każda była mniejsza od poprzedniej o \(50\) zł. Ile wynosiła pierwsza, a ile ostatnia rata?

Miary kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica wynosi \(5^\circ\!\). Najmniejszy kąt ma miarę \(120^\circ\!\). Wyznacz liczbę boków wielokąta.

\(9\)

Szósty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy zeru. Oblicz \(S_{11}\).

\(S_{11}=0\)

Udowodnij, że jeżeli trzy kolejne kąty czworokąta wpisanego w koło tworzą ciąg arytmetyczny, to co najmniej dwa kąty tego czworokąta są proste.

Udowodnij, że jeżeli długości trzech kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to przynajmniej dwa boki tego czworokąta mają taką samą długość.

O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa \(75\), a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa \(90\). Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

\(a_1=3\)

Ciąg \((9, x, 19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x, 42, y, z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).

\(x=14\), \(y=126\), \(z=378\)

Jednym z pierwiastków trójmianu kwadratowego \(y=ax^2+bx+c\) jest \(-\frac{1}{5}\). Liczby \(a\), \(b\), \(c\) tworzą ciąg arytmetyczny, a ich suma wynosi \(24\). Oblicz drugi pierwiastek tego trójmianu.

\(x=-\frac{1}{3}\)