Kwantyfikatory

Kwantyfikatorami nazywamy zwroty: dla każdego i istnieje takie.

Kwantyfikator ogólny oznaczamy symbolem \(\forall\) (albo \(\bigwedge\)) i czytamy: dla każdego.

Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy symbolem \(\exists\) (albo \(\bigvee\)) i czytamy: istnieje takie.

Pod kwantyfikatorem zawsze umieszczamy parametr, którego ma dotyczyć dany kwantyfikator.

Wyrażenie: \( \underset{x\ \in\ \mathbb{R} }{\forall} \) czytamy: dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych.
Wyrażenie: \( \underset{k\ \in\ \mathbb{Z} }{\forall} \) czytamy: dla każdego \(k\) należącego do zbioru liczb całkowitych.
Wyrażenie: \( \underset{n\ \in\ \mathbb{N} }{\forall} \) czytamy: dla każdego \(n\) należącego do zbioru liczb naturalnych.
Wyrażenie: \( \underset{x\ > 2 }{\forall} \) czytamy: dla każdego \(x\) większego od dwóch.
Wyrażenie: \( \underset{x\ \in\ \mathbb{R} \\ x\ <\ 0}{\forall} \) czytamy: dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych i jednocześnie mniejszego od zera.
Wyrażenie: \( \underset{x\ \in\ \mathbb{R} }{\exists} \) czytamy: istnieje taki \(x\) należący do zbioru liczb rzeczywistych.
Wyrażenie: \( \underset{x \in (-1,1) }{\exists} \) czytamy: istnieje taki \(x\) należący do przedziału \((-1,1)\).
Wyrażenie: \( \underset{n\ \in\ \mathbb{N} }{\exists} \) czytamy: istnieje taki \(n\) należący do zbioru liczb naturalnych.

Za kwantyfikatorem zawsze umieszczamy wyrażenie, którego ma dotyczyć dany kwantyfikator.

Wyrażenie: \[ \underset{x\ \in\ \mathbb{R} }{\forall}\ x^2 \ge 0 \] czytamy: dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych wyrażenie \(x^2\) jest większe lub równe zero.
Zauważmy przy okazji, że powyższe zdanie jest zdaniem prawdziwym.
Gdybyśmy napisali np. zdanie: \[ \underset{x\ \in\ \mathbb{R} }{\forall}\ x^2 \ge 5 \] to byłoby ono nieprawdziwe, ponieważ np. dla \(x=2\) mamy \(x^2=4<5\).
Wyrażenie: \[ \underset{k\ \in\ \mathbb{Z} }{\forall}\ 2|k(k+1) \] czytamy: dla każdego \(k\) należącego do zbioru liczb całkowitych wyrażenie \(k(k+1)\) jest podzielne przez \(2\).
Wyrażenie: \[ \underset{n\ \in\ \mathbb{N} }{\forall}\ n+1>0 \] czytamy: dla każdego \(n\) należącego do zbioru liczb naturalnych wyrażenie \(n+1\) jest dodatnie.
Wyrażenie: \[ \underset{x\ > 2 }{\forall}\ x^2>4 \] czytamy: dla każdego \(x\) większego od dwóch wyrażenie \(x^2\) jest większe od \(4\).
Wyrażenie: \[ \underset{x\ \in\ \mathbb{R}\ \land\ x\ <\ 0}{\forall}\ x^3<0 \] czytamy: dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych i jednocześnie mniejszego od zera wyrażenie \(x^3\) jest ujemne.
Wyrażenie: \[ \underset{x\ \in\ \mathbb{R} }{\exists}\ 2x+5=6 \] czytamy: istnieje taki \(x\) należący do zbioru liczb rzeczywistych, dla którego spełnione jest równanie \(2x+5=6\).
(oczywiście chodzi o \(x=\frac{1}{2}\))
Wyrażenie: \[ \underset{x \in (-1,1) }{\exists}\ x^2=0 \] czytamy: istnieje taki \(x\) należący do przedziału \((-1,1)\) dla którego \(x^2=0\).
(oczywiście chodzi o \(x=0\))
Wyrażenie: \[ \underset{n\ \in\ \mathbb{N} }{\exists}\ 21|n \] czytamy: istnieje \(n\) należący do zbioru liczb naturalnych taki, że \(n\) jest podzielny przez \(21\).
(w tym przypadku chodzi o \(n\in \{21, 42, 63,...\}\))

Kwantyfikatory często stosuje się w bardziej złożonych zdaniach.

Wyrażenie: \[ \underset{x\ \in\ \mathbb{R} }{\forall}\ \underset{y\ \in\ \mathbb{R} }{\forall}\ x^2 + y^2 \ge 0 \] czytamy: dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych oraz \(y\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych, wyrażenie \(x^2 + y^2\) jest większe lub równe zero.
Wyrażenie: \[ \underset{x\ \in\ \mathbb{R} }{\forall}\ \underset{y\ \in\ \mathbb{R} }{\exists}\ x+y=100 \] czytamy: dla każdego \(x\) należącego do zbioru liczb rzeczywistych istnieje \(y\) należący do zbioru liczb rzeczywistych taki, że wyrażenie \(x+y\) jest równe \(100\).