Wartość bezwzględną liczby \(x\) oznaczamy symbolem \(|x|\).
Wartość
bezwzględna z liczby dodatniej, to ta sama liczba dodatnia.
- \(|6|=6\)
- \(|11,3|=11,3\)
- \(|1+\sqrt{3}|=1+\sqrt{3}\)
Wartość bezwzględna z liczby ujemnej, to liczba do niej przeciwna.
- \(|-5|=-(-5)=5\)
- \(|-11,3|=-(-11,3)=11,3\)
- \(|-1-\sqrt{3}|=-(-1-\sqrt{3})=1+\sqrt{3}\)
- \(|1-\sqrt{5}|=-(1-\sqrt{5})=-1+\sqrt{5}\)
- \(|\sqrt{2}-2|=-(\sqrt{2}-2)=-\sqrt{2}+2\)
Wartość bezwzględna z zera jest równa zero, czyli: \(|0|=0\).
Definicja
Wartością bezwzględną dowolnej liczby rzeczywistej \(x\) jest:
- ta sama liczba rzeczywista \(x\), gdy \(x\ge 0\)
- liczba \(-x\) (przeciwna do \(x\)), gdy \(x\lt 0\)
Matematycznie zapiszemy to tak: \[|x|=\begin{cases}x &\text{ dla } x \ge 0\\-x &\text{ dla } x
< 0\end{cases} \]
Zawsze przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy
liczba pod nią jest dodatnia, czy ujemna.
Opuść wartość bezwzględną z liczby
\(\left|3\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right|\).
Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba \(3\frac{1}{2}-\sqrt{3}\) jest dodatnia, czy ujemna. W tym
celu przybliżamy wartość pierwiastka: \[3\frac{1}{2}-\sqrt{3} \cong
3\frac{1}{2}-1,73=1,77\] Czyli liczba \(3\frac{1}{2}-\sqrt{3}\) jest dodatnia, zatem opuszczamy
wartość bezwzględną bez zmiany znaku: \[|3\frac{1}{2}-\sqrt{3}| =
3\frac{1}{2}-\sqrt{3}\]
Opuść wartość bezwzględną z liczby \(\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|\).
Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) jest dodatnia, czy ujemna. W tym celu
przybliżamy wartości obu pierwiastków: \[\sqrt{2}-\sqrt{3} \cong 1{,}41 - 1{,}73 =
-0,32\] Czyli liczba \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) jest ujemna,
zatem opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku: \[|\sqrt{2}-\sqrt{3}| =
-(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = -\sqrt{2}+\sqrt{3}\]
Opuść wartość bezwzględną z liczby \(\left|\pi - 3\sqrt{2}\right|\).
Przed opuszczeniem wartości bezwzględnej musimy ustalić, czy liczba \(\pi - 3\sqrt{2}\) jest dodatnia, czy ujemna. W tym celu
przybliżamy wartości liczby \(\pi\) i pierwiastka: \[\pi - 3\sqrt{2} \cong 3{,}14 -
3\cdot 1{,}41 = 3{,}14 - 4{,}23 = -1{,}09\] Czyli liczba \(\pi -
3\sqrt{2}\) jest ujemna, zatem opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą
znaku: \[|\pi - 3\sqrt{2}|=-(\pi - 3\sqrt{2})=-\pi + 3\sqrt{2}\]
Bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnej wynika, że \(|x|\) jest
zawsze liczbą nieujemną.
Ponadto, zgodnie z definicją pierwiastka arytmetycznego (który musi być
zawsze nieujemny), dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi: \[\sqrt{x^2} = |x|\]
- \(\sqrt{5^2}=|5|=5\)
- \(\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5\)
- \(\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=|1+\sqrt{2}|=1+\sqrt{2}\)
- \(\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=-1+\sqrt{2}\)