Niech będzie dany szereg: \[\sum_{n=1}^{\∞ }a_n \] Rozważmy ciąg o wyrazach
\(\sqrt[n]{a_n}\).
Wówczas:
- jeżeli \(\lim_{n \to \∞} \sqrt[n]{a_n} \lt 1\), to szereg jest zbieżny.
- jeżeli \(\lim_{n \to \∞} \sqrt[n]{a_n} \gt 1\), to szereg jest rozbieżny.
- jeżeli \(\lim_{n \to \∞} \sqrt[n]{a_n} = 1\), to kryterium nie rozstrzyga zbieżności
szeregu.
Dodatkowo mamy rozszerzenie kryterium Cauchy'ego:
- jeżeli od pewnego momentu \(\sqrt[n]{a_n}\ge 1\), to szereg jest rozbieżny.
Kryterium Cauchy'ego często wykorzystuje się podczas badania zbieżności
szeregów, we wzorach których występują potęgi \(n\)-tego stopnia.