Kryterium d'Alemberta
Kryterium d'Alemberta często stosujemy przy badaniu
zbieżności szeregów.
Kryterium d'Alemberta
Niech będzie dany szereg: \[\sum_{n=1}^{\∞ }a_n \] Rozważmy ciąg o wyrazach
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\).
Wówczas:
- jeżeli \(\lim_{n \to \∞} \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1\), to szereg jest zbieżny.
- jeżeli \(\lim_{n \to \∞} \frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1\), to szereg jest rozbieżny.
- jeżeli \(\lim_{n \to \∞} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1\), to kryterium nie rozstrzyga
zbieżności szeregu.
Dodatkowo mamy rozszerzenie kryterium d'Alemberta:
- jeżeli od pewnego momentu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\), to szereg jest rozbieżny.
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\∞}\frac{2^n\cdot
n!}{n^n} \)
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\∞}\frac{10^n}{n!}
\)
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\∞}\frac{(n!)^2}{(2n)!} \)
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\∞}\frac{n!}{n^n}
\)
Zbadaj zbieżność szeregu \(\sum_{n=1}^{\∞}\frac{(n!)^2}{2^{n^2}} \)