Funkcja wykładnicza

Wprowadzenie do funkcji wykładniczej

Funkcja wykładnicza ma wzór: \[f(x)=a^x\] gdzie \(a \gt 0\).

Nazwa funkcji wykładniczej pochodzi od tego, że \(x\) znajduje się w wykładniku.

Wykresem funkcji \(y = a^x\) jest krzywa, która zawsze przecina oś \(y\) w punkcie \(1\).
Zasadniczy kształt wykresu zależy do tego czy \(a\gt 1\) czy \(a\lt 1\). Pokażemy oddzielnie oba te przypadki.

Narysujemy wykres funkcji \(y = 2^x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y=2^x\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)

Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:

Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie \(a\gt 1\). Przykładowo:

Własności funkcji wykładniczej o podstawie \(a\gt 1\):

Dziedzina: \(\mathbb{R} \).
Zbiór wartości: \(\mathbb{R} ^{+}\).
Monotoniczność: funkcja jest rosnąca.
Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie: \[f(x)\gt 0,\ \text{dla}\ x\in \mathbb{R} \]
Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
Parzystość: nie jest.
Nieparzystość: nie jest.

Teraz zobaczymy jak wyglądają funkcje wykładnicze o podstawie \(a \lt 1\).

Narysujemy wykres funkcji \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\)	\(4\)	\(2\)	\(1\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{4}\)

Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:

Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie \(a \lt 1\). Przykładowo:

Własności funkcji wykładniczej o podstawie \(a \lt 1\):

Dziedzina: \(\mathbb{R} \).
Zbiór wartości: \(\mathbb{R}^{+}\).
Monotoniczność: funkcja jest malejąca.
Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie: \[f(x)\gt 0,\ \text{dla}\ x\in \mathbb{R} \]
Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.
Parzystość: nie jest.
Nieparzystość: nie jest.