Funkcja logarytmiczna

Wprowadzenie do funkcji logarytmicznej

Funkcja logarytmiczna ma wzór: \[f(x)=\log_ax\] Zakładamy przy tym, że \(a \gt 0\), \(a\ne 1\), \(x\gt 0\).

Wykresem tej funkcji jest krzywa która zawsze przecina oś \(Ox\) dla argumentu \(x = 1\).
Zasadniczy kształt wykresu zależy do tego czy \(a \gt 1\) czy \(a \lt 1\). Pokażemy oddzielnie te dwa przypadki.

Narysujemy wykres funkcji \(f(x) = \log_2x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:

\(x\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(y=\log_2x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)

Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:

Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji logarytmicznych o podstawie \(a \gt 1\). Przykładowo:

Własności funkcji logarytmicznej o podstawie \(a \gt 1\):

Dziedzina: \(\mathbb{R}^+ \).
Zbiór wartości: \(\mathbb{R} \).
Monotoniczność: funkcja jest rosnąca.
Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
Miejsca zerowe: \(x = 1\).
Parzystość: nie jest.
Nieparzystość: nie jest.

Teraz zobaczymy jak wyglądają funkcje logarytmiczne o podstawie \(a \lt 1\).

Narysujemy wykres funkcji \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x\).
Na początek obliczmy wartości tej funkcji dla kilku przykładowych argumentów \(x\). Sporządźmy zatem odpowiednią tabelkę:

\(x\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(4\)
\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)	\(2\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(-2\)

Zatem wykres tej funkcji będzie wyglądał następująco:

Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji logarytmicznych o podstawie \(a \lt 1\). Przykładowo:

Własności funkcji logarytmicznej o podstawie \(a \lt 1\):

Dziedzina: \(\mathbb{R}^+ \).
Zbiór wartości: \(\mathbb{R}\).
Monotoniczność: funkcja jest malejąca.
Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa.
Miejsca zerowe: \(x = 1\).
Parzystość: nie jest.
Nieparzystość: nie jest.