Dla logarytmu: \(\log_ab\) zakładamy, że:
- \(a\gt 0\)
- \(b\gt 0\)
- \(a\ne 1\)
Jeżeli w podstawie logarytmu lub w liczbie logarytmowanej występuje wyrażenie z \(x\)-em, to
musimy określić dziedzinę.
Określ dziedzinę funkcji \(f(x)=1-\log_2(10x+3)\).
Liczba logarytmowana musi być dodatnia, zatem zakładamy, że: \[\begin{split}
10x+3&\gt 0\\[6pt] x&\gt-\frac{3}{10} \end{split}\] Zatem dziedzina funkcji to: \(x\in
\left(-\frac{3}{10},+\∞ \right)\).
Określ dziedzinę funkcji \(f(x)=\log_{3-x^2}(2x)\).
Liczba
logarytmowana musi być dodatnia, zatem zakładamy, że: \[\begin{split} 2x&\gt 0\\[6pt] x&\gt0
\end{split}\] Podstawa logarytmu również musi być dodatnia, zatem: \[\begin{split} 3-x^2&\gt
0\\[6pt] x^2&\lt3\\[6pt] x&\in (-\sqrt{3},\sqrt{3}) \end{split}\] Ponadto podstawa logarytmu
musi być różna od \(1\), czyli: \[\begin{split} 3-x^2&\ne 1\\[6pt] x^2&\ne 2\\[6pt] x\ne
-\sqrt{2}\quad &\land \quad x\ne\sqrt{2} \end{split}\] Teraz musimy wziąć część wspólną
wszystkich złożeń: \[ x\gt0 \quad \land \quad x\in (-\sqrt{3},\sqrt{3}) \quad \land \quad x\ne
-\sqrt{2}\quad \land \quad x\ne\sqrt{2}\\[6pt] x\in (0,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\sqrt{3}) \]
Zatem dziedzina funkcji to: \(x\in (0,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\sqrt{3})\).