Dla dowolnego wyrażenia wymiernego należy zrobić założenie, że mianownik jest
różny od zera.
W ten sposób dajemy sobie gwarancję, że nie wykonamy dzielenia przez \(0\) (które
jest w matematyce działaniem niedozwolonym).
Robienie takich założeń to inaczej określanie
dziedziny wyrażenia wymiernego.
Można zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych, z wyłączeniem tych liczb, które zerują mianownik.
Wiele przykładów wyznaczania
dziedziny można znaleźć w dziale
dziedzina funkcji.
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{4x+1}{6x-18}\).
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: \[\begin{split} 6x-18&\ne 0\\[6pt] 6x&\ne 18\\[6pt]
x&\ne 3 \end{split}\] Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę \(3\).
Czyli dziedziną
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem \(3\).
Zapisujemy to tak:
\(D=\mathbb{R} \backslash \{3\}\).
Można również zapisać po prostu: \(x\ne 3\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{-5x^2+2x}{-2x-3}\).
Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: \[\begin{split} -2x-3&\ne 0\\[6pt]
2x&\ne -3\\[6pt] x&\ne -\frac{3}{2} \end{split}\] Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę
\(-\frac{3}{2}\).
Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem
\(-\frac{3}{2}\).
Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{-\frac{3}{2}\}\).
Można również zapisać po prostu: \(x\ne -\frac{3}{2}\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \(\frac{1}{(x-5)(x+7)}\).
Sprawdzamy kiedy mianownik zeruje się: \[\begin{split} (x-5)(x+7)&= 0\\[6pt] x-5=0\quad
&\lor\quad x+7=0\\[6pt] x=5\quad &\lor\quad x=-7 \end{split}\] Czyli \(x = 5\) zeruje mianownik
oraz \(x = -7\) zeruje mianownik.
Zatem z dziedziny musimy wykluczyć dwie liczby: liczbę
\(5\) oraz liczbę \(-7\). Zapisujemy to tak: \(D=\mathbb{R} \backslash \{-7, 5\}\).
Można
również zapisać, że: \(x\ne -7 \land x\ne 5\).
Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \( \frac{2x^2+2x+4}{x^4+3x^3-4x^2-12x} \).
\(x\in \mathbb{R} \backslash \{-3,-2,0,2\}\)