Operacje elementarne na macierzach
Na macierzach (podobnie jak na układach równań) można
wykonywać trzy proste operacje:
- dodać do jednego wiersza macierzy inny wiersz pomnożony przez liczbę,
- zamienić dwa wiersze miejscami,
- mnożyć wiersz przez liczbę różną od zera.
Te trzy opisane powyżej operacje nazywamy operacjami elementarnymi na
wierszach.
Operacje elementarne na wierszach macierzy odpowiadają takim samym operacjom na
równaniach układu równań.
Rozważ układ równań: 
Danemu układowi równań odpowiada następująca macierz: 
W wyniku powyższej operacji pozbyliśmy się jednej niewiadomej z drugiego
równania.
Teraz pozbędziemy się niewiadomej \(x_1\) z trzeciego równania. W tym celu do trzeciego równania dodajemy pierwsze równanie pomnożone przez \(3\):
Teraz będziemy pozbywać się kolejnych niewiadomych maksymalnie upraszczając układ
równań (oraz macierz). Wykonywane operacje elementarne będą zapisywane przy strzałkach.
Wykonanie wszystkich powyższych operacji
elementarnych doprowadziło nas do rozwiązania układu równań: 
Ciągłe przepisywanie całego układu równań jest dość
czasochłonne. Dlatego warto wykonywać działania jedynie na macierzy odpowiadającej danemu
układowi, aby na końcu tylko odczytać z niej rozwiązanie.
Przy takim podejściu całe zadanie sprowadza się do przekształcenia macierzy na postać schodkową zredukowaną. Z takiej postaci od razu widać rozwiązania układu równań.
Wykonamy teraz kilka operacji elementarnych na równaniach układu i
jednocześnie na wierszach odpowiadającej mu macierzy.
Na początku pomnóżmy pierwszy
wiersz przez liczbę \(2\):
Napis \(w_1 \rightarrow w_1\cdot 2\) jest symbolicznym zapisem tego, że
"wiersz pierwszy przekształcamy w wiersz pierwszy pomnożony przez \(2\)".
Teraz do
drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz pomnożony przez \(2\): W wyniku powyższej operacji pozbyliśmy się jednej niewiadomej z drugiego
równania.Teraz pozbędziemy się niewiadomej \(x_1\) z trzeciego równania. W tym celu do trzeciego równania dodajemy pierwsze równanie pomnożone przez \(3\):
Teraz będziemy pozbywać się kolejnych niewiadomych maksymalnie upraszczając układ
równań (oraz macierz). Wykonywane operacje elementarne będą zapisywane przy strzałkach. Wykonanie wszystkich powyższych operacji
elementarnych doprowadziło nas do rozwiązania układu równań: Ciągłe przepisywanie całego układu równań jest dość
czasochłonne. Dlatego warto wykonywać działania jedynie na macierzy odpowiadającej danemu
układowi, aby na końcu tylko odczytać z niej rozwiązanie.Przy takim podejściu całe zadanie sprowadza się do przekształcenia macierzy na postać schodkową zredukowaną. Z takiej postaci od razu widać rozwiązania układu równań.