Zadania z klasycznego rachunku prawdopodobieństwa

Ze zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(4\). Wówczas

A.\( p\lt \frac{1}{5} \)

B.\( p=\frac{1}{5} \)

C.\( p=\frac{1}{4} \)

D.\( p>\frac{1}{4} \)

B

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\). Wtedy

A.\( p\lt 0{,}25 \)

B.\( p=0{,}25 \)

C.\( p=\frac{1}{3} \)

D.\( p>\frac{1}{3} \)

B

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\) lub przez \(2\).

\(\frac{7}{11}\)

Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(30\) jest równe

A.\( \frac{1}{90} \)

B.\( \frac{2}{90} \)

C.\( \frac{3}{90} \)

D.\( \frac{10}{90} \)

C

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(15\).

\(\frac{1}{15}\)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na wylosowaniu liczb, wśród których nie będzie liczby mniejszej od \(3\).

\(P(A)=\frac{2}{7}\)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego \(5\).

\(\frac{1}{18}\)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o \(1\) większa od liczby oczek w pierwszym rzucie.

\(P(A)=\frac{5}{36}\)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez \(6\).

\(P(A)=\frac{17}{49}\)

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie jednej reszki czy wyrzucenie orła w co drugim rzucie?

Bardziej prawdopodobne jest wyrzucenie jednej reszki

Jacek rzucił pięć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Liczba wyrzuconych oczek wynosiła kolejno \(1, 2, 3, 4, 5\). Prawdopodobieństwo, że w szóstym rzucie wypadnie \(6\) oczek jest równe:

A.\(1 \)

B.\(0 \)

C.\(\frac{5}{6} \)

D.\(\frac{1}{6} \)

D

Ze zbioru liczb \(\{1,2,3,4,6,8,12,14,15\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wybierzemy liczbę, której dzielnikiem jest liczba \(3\), wynosi:

A.\( \frac{5}{9} \)

B.\( \frac{4}{9} \)

C.\( \frac{1}{3} \)

D.\( \frac{2}{3} \)

B

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe

A.\( \frac{1}{6} \)

B.\( \frac{1}{12} \)

C.\( \frac{1}{18} \)

D.\( \frac{1}{36} \)

D

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy \(5\). Wtedy

A.\( p=\frac{1}{36} \)

B.\( p=\frac{1}{18} \)

C.\( p=\frac{1}{12} \)

D.\( p=\frac{1}{9} \)

B

Ze zbioru liczb \(\{1 ,2, 3,..., 7\}\) losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez \(3\).

\(\frac{16}{49}\)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi

A.\( \frac{1}{6} \)

B.\( \frac{1}{9} \)

C.\( \frac{1}{12} \)

D.\( \frac{1}{18} \)

D

Ze zbioru liczb \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 \}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez \(2\) lub przez \(3\). Wtedy

A.\( p=\frac{5}{11} \)

B.\( p=\frac{6}{11} \)

C.\( p=\frac{7}{11} \)

D.\( p=\frac{8}{11} \)

C

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe

A.\(\frac{7}{8} \)

B.\(\frac{1}{2} \)

C.\(\frac{1}{4} \)

D.\(\frac{1}{8} \)

A

Ze zbioru liczb \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez \(2\). Wtedy

A.\( p\lt 0{,}25 \)

B.\( p=0{,}25 \)

C.\( p=0{,}5 \)

D.\( p>0{,}5 \)

C

Spośród dodatnich liczb dwucyfrowych losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb parzystych.

\(\frac{22}{89}\)

Ze zbioru liczb \(\{ 1,2,3,4,5,6,7,8 \}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez \(3\). Wtedy

A.\( p\lt 0{,}3 \)

B.\( p=0{,}3 \)

C.\( p=\frac{1}{3} \)

D.\( p>\frac{1}{3} \)

A

W sklepie wśród dziesięciu żarówek trzy są wadliwe, a pozostałe są dobrej jakości. Klient kupił losowo wybraną jedną żarówkę (bez sprawdzania). Po namyśle dokupił jeszcze jedną. Czy prawdopodobieństwo zdarzenia, że klient, otrzyma obie żarówki dobrej jakości, jest większe od \(0{,}5\)? Odpowiedź uzasadnij, wykonując odpowiednie obliczenia.

\(p\lt \frac{1}{2}\)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez \(12\). Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

\(P(A)=\frac{1}{6}\)

W pudełku są \(4\) kule białe i \(x\) kul czerwonych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe \(\frac{3}{5}\), gdy

A.\( x=6 \)

B.\( x=8 \)

C.\( x=10 \)

D.\( x=12 \)

A

W pojemniku umieszczono \(50\) drewnianych klocków, przy czym każdy klocek ma kształt sześcianu lub kuli, oraz każdy klocek jest czerwony lub niebieski. Wiadomo, że w pojemniku znajduje się dokładnie \(15\) czerwonych sześcianów, \(18\) klocków niebieskich i \(31\) klocków mających kształt kuli. Z pojemnika losowo wybieramy jeden klocek. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowany klocek jest niebieską kulą?

\(\frac{7}{25}\)

W urnie jest \(6\) kul oznaczonych kolejnymi cyframi od \(1\) do \(6\). Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym losowaniu jednej kuli, przy czym po pierwszym losowaniu kula nie wraca do urny. Cyfra, jaką jest oznaczona pierwsza wylosowana kula, jest cyfrą jedności, a cyfra na drugiej kuli jest cyfrą dziesiątek liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymana liczba jest taką liczbą podzielną przez \(3\), której cyfra jedności jest nie większa niż \(4\).

\(P(A)=\frac{7}{30}\)

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba oczek otrzymana w pierwszym rzucie jest większa od liczby oczek otrzymanej w drugim rzucie?

\(\frac{5}{12}\)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

\(\frac{19}{54}\)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(9\) kul: \(4\) białe, \(3\) czarne i \(2\) zielone. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(2\) białe, \(3\) czarne i \(1\) zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów.

\(\frac{35}{54}\)

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się \(11\) kul: \(7\) białych i \(4\) czarne. W drugim pojemniku jest \(6\) kul: \(3\) białe i \(3\) czarne. Z każdego pojemnika losujemy po dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czterech kul czarnych.

\(\frac{18}{825}\)

Na stole leżało \(14\) banknotów: \(2\) banknoty o nominale \(100\) zł, \(2\) banknoty o nominale \(50\) zł i \(10\) banknotów o nominale \(20\) zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę \(5\) banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie \(130\) zł.

\(\frac{30}{143}\)

W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od \(1\) do \(8\), przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez \(3\) jest równa \(1\) są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od \(6\) i nie większy od \(35\).

\(P(A)=\frac{9}{28}\)

W pudełku są \(4\) kule białe i \( x \) kul czerwonych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe \( \frac{3}{5} \), gdy

A.\(x=6 \)

B.\(x=8 \)

C.\(x=10 \)

D.\(x=12 \)

A

Ze zbioru liczb \( {1, 2, 3, 4, 5, 6} \) losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą podzielną przez \( 3 \).

\(\frac{1}{3}\)

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \), polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o \(4\) lub \(6\).

\(P(A)=\frac{3}{32}\)

Zbiór \( M \) tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: \( 1, 2, 3, 4, 5 \). Ze zbioru \( M \) losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od \( 20 \), w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.

\(\frac{3}{10}\)

Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo, że w trzecim rzucie wypadnie orzeł jest równe

A.\( \frac{1}{4} \)

B.\( \frac{3}{8} \)

C.\( \frac{1}{2} \)

D.\( \frac{3}{4} \)

C

Rzucamy sześć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \( p_i \) oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia \( i \) oczek w \( i \)-tym rzucie. Wtedy

A.\( p_6=1 \)

B.\( p_6=\frac{1}{6} \)

C.\( p_6=0 \)

D.\( p_6=\frac{1}{3} \)

B

Zakupiono \( 16 \) biletów do teatru, w tym \( 10 \) biletów na miejsca od \( 1. \) do \( 10. \) w pierwszym rzędzie i \( 6 \) biletów na miejsca od \( 11. \) do \( 16. \) w szesnastym rzędzie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że \( 2 \) wylosowane bilety, spośród szesnastu, będą biletami na sąsiadujące miejsca?

\(\frac{7}{60}\)

Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech \(p_i\) oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez \(i\). Wtedy

A.\( 2p_4=p_2 \)

B.\( 2p_6=p_3 \)

C.\( 2p_3=p_6 \)

D.\( 2p_2=p_4 \)

B

Rzucamy \(3\) razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie wypadnie mniej niż pięć oczek?

A.\( \frac{3}{5} \)

B.\( \frac{8}{125} \)

C.\( \frac{8}{27} \)

D.\( \frac{27}{125} \)

C

W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga - niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy

A.\( p=\frac{3}{8} \)

B.\( p=\frac{1}{4} \)

C.\( p=\frac{2}{3} \)

D.\( p=\frac{1}{2} \)

A

Wśród \(115\) osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.

Rodzaj kupionych biletów	Liczba osób
ulgowe	76
normalne	41

Uwaga! \(27\) osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.

\(\frac{5}{23}\)

W pewnej klasie stosunek liczny dziewcząt do liczby chłopców jest równy \(4:5\). Losujemy jedną osobę z tej klasy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to dziewczyna, jest równe

A.\( \frac{4}{5} \)

B.\( \frac{4}{9} \)

C.\( \frac{1}{4} \)

D.\( \frac{1}{9} \)

B

W grupie jest \(15\) kobiet i \(18\) mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe

A.\( \frac{1}{15} \)

B.\( \frac{1}{33} \)

C.\( \frac{15}{33} \)

D.\( \frac{15}{18} \)

C

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się \(6\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(6\), a w drugim – \(8\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(8\). Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez \(11\).

\(\frac{1}{8}\)

Ze zbioru \(\{0, 1, 2, ..., 15\}\) losujemy jedną liczbę. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby pierwszej jest równe

A.\( \frac{7}{16} \)

B.\( \frac{3}{8} \)

C.\( \frac{6}{15} \)

D.\( \frac{7}{15} \)

B

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losowo wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że otrzymamy liczbę podzielną przez \(9\) lub podzielną przez \(12\).

\(P(A)=\frac{8}{45}\)