Zadania maturalne CKE

Liczba \( 3^{30}\cdot 9^{90} \) jest równa:

A.\(3^{210} \)

B.\(3^{300} \)

C.\(9^{120} \)

D.\(27^{2700} \)

A

Liczba \( 3^{\frac{8}{3}}\cdot \sqrt[3]{9^2} \) jest równa:

A.\(3^3 \)

B.\(3^{\frac{32}{9}} \)

C.\(3^4 \)

D.\(3^5 \)

C

Liczba \( \log 24 \) jest równa:

A.\(2\log 2+\log 20 \)

B.\(\log 6+2\log 2 \)

C.\(2\log 6-\log 12 \)

D.\(\log 30-\log 6 \)

B

Liczba \( 30 \) to \( p\% \) liczby \( 80 \), zatem:

A.\(p<40 \)

B.\(p=40 \)

C.\(p=42{,}5 \)

D.\(p>42{,}5 \)

A

\( 4\% \) liczby \( x \) jest równe \( 6 \), zatem:

A.\(x=150 \)

B.\(x\lt 150 \)

C.\(x=240 \)

D.\(x\gt 240 \)

A

Liczba \( y \) to \( 120\% \) liczby \( x \). Wynika stąd, że:

A.\(y=x+0{,}2 \)

B.\(y=x+0{,}2x \)

C.\(x=y-0{,}2 \)

D.\(x=y-0{,}2y \)

B

Rozwiązaniem równania \( \frac{x-3}{2-x}=\frac{1}{2} \) jest liczba:

A.\(-\frac{4}{3} \)

B.\(-\frac{3}{4} \)

C.\(\frac{3}{8} \)

D.\(\frac{8}{3} \)

D

Mniejszą z dwóch liczb spełniających równanie \( x^2+5x+6=0 \) jest

A.\(-6 \)

B.\(-3 \)

C.\(-2 \)

D.\(-1 \)

B

Liczba \( 1 \) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \( f(x)=(2-m)x+1 \). Wynika stąd, że

A.\(m=0 \)

B.\(m=1 \)

C.\(m=2 \)

D.\(m=3 \)

D

Funkcja \( f \) jest określona wzorem \( f(x)=\begin{cases} -3x+4 &\text{dla }x\lt 1\\ 2x-1 &\text{dla }x\ge 1 \end{cases} \). Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

A.\(0 \)

B.\(1 \)

C.\(2 \)

D.\(3 \)

A

Rysunek przedstawia wykres funkcji \(y = f(x)\).

Wskaż rysunek na którym jest przedstawiony wykres funkcji \(y = f(x + 1)\).

D

Który z zaznaczonych przedziałów jest zbiorem rozwiązań nierówności \(|2 - x| \le 3\).

C

Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem \( y=-x^2+4x-11 \).

A.\(x=-4 \)

B.\(x=-2 \)

C.\(x=2 \)

D.\(x=4 \)

C

Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział \( (-\∞ ;3 \rangle \).

A.\(f(x)=-(x-2)^2+3 \)

B.\(f(x)=(2-x)^2+3 \)

C.\(f(x)=-(x+2)^2-3 \)

D.\(f(x)=(2-x)^2-3 \)

A

Zbiorem rozwiązań nierówności \( x^2\ge 5 \) jest

A.\(( -\∞ ;-\sqrt{5} )\cup ( \sqrt{5};+\∞ ) \)

B.\(( -\∞ ;-\sqrt{5} \rangle \cup \langle \sqrt{5};+\∞ ) \)

C.\(\langle \sqrt{5};+\∞ ) \)

D.\(\langle 5;+\∞ ) \)

B

Wykres funkcji kwadratowej \( f(x)=3(x+1)^2-4 \) nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu

A.\(y=1 \)

B.\(y=-1 \)

C.\(y=-3 \)

D.\(y=-5 \)

D

Prosta o równaniu \( y=a \) ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej \( f(x)=-x^2+6x-10 \). Wynika stąd, że

A.\(a=3 \)

B.\(a=0 \)

C.\(a=-1 \)

D.\(a=-3 \)

C

Jaka jest najmniejsza wartość funkcji kwadratowej \( f(x)=x^2+4x-3 \) w przedziale \( \langle 0, 3 \rangle \)?

A.\(-7 \)

B.\(-4 \)

C.\(-3 \)

D.\(-2 \)

C

Dane są wielomiany \( W(x)=3x^3-2x, V(x)=2x^2+3x \). Stopień wielomianu \( W(x)\cdot V(x) \) jest równy

A.\(6 \)

B.\(5 \)

C.\(4 \)

D.\(3 \)

B

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie \( 5x^4-13=0 \)?

A.\(1 \)

B.\(2 \)

C.\(3 \)

D.\(4 \)

B

Wskaż liczbę rozwiązań równania \(\frac{11-x}{x^2-11}=0 \).

A.\(0 \)

B.\(1 \)

C.\(2 \)

D.\(3 \)

B

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \( y=2x-7 \).

A.\(y=-2x+7 \)

B.\(y=-\frac{1}{2}x+5 \)

C.\(y=\frac{1}{2}x+2 \)

D.\(y=2x-1 \)

D

Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu \( y=4x+5 \).

A.\(y=-4x+3 \)

B.\(y=-\frac{1}{4}x+3 \)

C.\(y=\frac{1}{4}x+3 \)

D.\(y=4x+3 \)

B

Punkty \( A=(-1,3)\) i \(C=(7,9) \) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta \( ABCD \). Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy

A.\(10 \)

B.\(6\sqrt{2} \)

C.\(5 \)

D.\(3\sqrt{2} \)

C

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \( (x+3)^2+(y-1)^2=4 \) z osiami układu współrzędnych jest równa

A.\(0 \)

B.\(1 \)

C.\(2 \)

D.\(4 \)

C

Środek \( S \) okręgu o równaniu \( x^2+y^2+4x-6y-221=0 \) ma współrzędne

A.\(S=(-2,3) \)

B.\(S=(2,-3) \)

C.\(S=(-4,6) \)

D.\(S=(4,-6) \)

A

Dane są długości boków \(|BC|=5\) i \(|AC|=3\) trójkąta prostokątnego \( ABC \) o kącie ostrym \( \beta \) .

Wtedy

A.\(\sin \beta =\frac{3}{5} \)

B.\(\sin \beta =\frac{4}{5} \)

C.\(\sin \beta =\frac{3\sqrt{34}}{34} \)

D.\(\sin \beta =\frac{5\sqrt{34}}{34} \)

C

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \sin \alpha =\frac{1}{4} \). Wówczas

A.\(\cos \alpha \lt \frac{3}{4} \)

B.\(\cos \alpha =\frac{3}{4} \)

C.\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{4} \)

D.\(\cos \alpha >\frac{\sqrt{13}}{4} \)

D

Kąt \( \alpha \) jest kątem ostrym i \( \operatorname{tg} \alpha =\frac{1}{2} \). Jaki warunek spełnia kąt \( \alpha \)?

A.\(\alpha \lt 30^\circ \)

B.\(\alpha =30^\circ \)

C.\(\alpha =60^\circ \)

D.\(\alpha >60^\circ \)

A

Kąt między cięciwą \( AB \) a styczną do okręgu w punkcie \( A \) ma miarę \( \alpha =62^\circ \). Wówczas:

A.\(\beta =118^\circ \)

B.\(\beta =124^\circ \)

C.\(\beta =138^\circ \)

D.\(\beta =152^\circ \)

B

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa \( 180^\circ \). Jaka jest miara kąta środkowego?

A.\(60^\circ \)

B.\(90^\circ \)

C.\(120^\circ \)

D.\(135^\circ \)

C

Różnica miar kątów wewnętrznych przy ramieniu trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem, jest równa \( 40^\circ \). Miara kąta przy krótszej podstawie jest równa.

A.\(120^\circ \)

B.\(110^\circ \)

C.\(80^\circ \)

D.\(70^\circ \)

B

Odcinki \( BC\) i \(DE \) są równoległe. Długości odcinków \( AC, CE \) i \( BC \) są podane na rysunku. Długość odcinka \( DE \) jest równa

A.\(6 \)

B.\(8 \)

C.\(10 \)

D.\(12 \)

C

Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \( 4 \) cm jest równe

A.\(64\) cm²

B.\(32\) cm²

C.\(16\) cm²

D.\(8\) cm²

B

Ciąg \(a_n\) jest określony wzorem \(a_n=(-3)^n\cdot (9-n^2)\) dla \(n\ge 1\). Wynika stąd, że

A.\( a_3=-81 \)

B.\( a_3=-27 \)

C.\( a_3=0 \)

D.\( a_3>0 \)

C

Liczby \(x-1,\ 4,\ 8\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa

A.\( 3 \)

B.\( 1 \)

C.\( -1 \)

D.\( -7 \)

B

Liczby \(-8,\ 4,\ x+1\) (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa.

A.\( -3 \)

B.\( -1{,}5 \)

C.\( 1 \)

D.\( 15 \)

A

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez \(6\) lub przez \(10\), jest

A.\( 25 \)

B.\( 24 \)

C.\( 21 \)

D.\( 20 \)

C

Wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których obie cyfry są mniejsze od \(5\) jest

A.\( 16 \)

B.\( 20 \)

C.\( 25 \)

D.\( 30 \)

B

Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa

A.\( 25 \)

B.\( 20 \)

C.\( 15 \)

D.\( 12 \)

B

Mediana danych: \(0, 1, 1, 2, 3, 1\) jest równa

A.\( 1 \)

B.\( 1{,}5 \)

C.\( 2 \)

D.\( 2{,}5 \)

A

Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa

wartość	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
liczebność	\(5\)	\(2\)	\(1\)	\(1\)

A.\( 0 \)

B.\( 0{,}5 \)

C.\( 1 \)

D.\( 5 \)

A

Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa

A.\( 1 \)

B.\( 1{,}2 \)

C.\( 1{,}5 \)

D.\( 1{,}8 \)

A

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\). Wtedy

A.\( p\lt 0{,}25 \)

B.\( p=0{,}25 \)

C.\( p=\frac{1}{3} \)

D.\( p>\frac{1}{3} \)

B

O zdarzeniach losowych \(A\) i \(B\) zawartych w \(\Omega \) wiadomo, że \(B\subset A\), \(P(A)=0{,}7\) i \(P(B)=0{,}3\). Wtedy

A.\( P(A\cup B)=1 \)

B.\( P(A\cup B)=0{,}7 \)

C.\( P(A\cup B)=0{,}4 \)

D.\( P(A\cup B)=0{,}3 \)

B

Przekątna sześcianu ma długość \(3\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

A.\( 54 \)

B.\( 36 \)

C.\( 18 \)

D.\( 12 \)

C

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(24\) cm². Objętość tego sześcianu jest równa

A.\( 8 \) cm³

B.\( 16 \) cm³

C.\( 27 \) cm³

D.\( 64 \) cm³

A

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach \(2 \times 3 \times 5\) ma długość

A.\( \sqrt{13} \)

B.\( \sqrt{29} \)

C.\( \sqrt{34} \)

D.\( \sqrt{38} \)

D

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości \(6\). Objętość tego walca jest równa

A.\( 18\pi \)

B.\( 54\pi \)

C.\( 108\pi \)

D.\( 216\pi \)

B

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości \(6\). Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe:

A.\( 12\pi \)

B.\( 18\pi \)

C.\( 27\pi \)

D.\( 36\pi \)

B

Rozwiąż równanie \(\frac{2-3x}{1-2x}=-\frac{1}{2}\).

\(x=\frac{5}{8}\)

Rozwiąż układ równań \(\begin{cases} x+3y=5\\ 2x-y=3 \end{cases} \).

\(\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases} \)

Rozwiąż nierówność \(x^2+6x-7\le 0\).

\(x\in \left\langle -7; 1 \right\rangle \)

Rozwiąż równanie \(2x^3-x^2-6x+3=0\).

\(x=\frac{1}{2}\) lub \(x=\sqrt{3}\) lub \(x=-\sqrt{3}\)

O funkcji liniowej \(f\) wiadomo, że \(f(1)=2\) oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt \(P = (-2,3)\). Wyznacz wzór funkcji \(f\).

\(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\)

Oblicz miejsca zerowe funkcji \[f(x)=\begin{cases} 2x+1\quad \text{dla }x\le 0\\ x+2\quad \text{dla }x>0 \end{cases} \]

\(x=-\frac{1}{2}\)

Naszkicuj wykres funkcji \[f(x)=\begin{cases} 2x+1\quad \text{dla }x\le 0\\ x+2\quad \text{dla }x>0 \end{cases} \]

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-6x+1\) w przedziale \(\langle 0,1 \rangle\).

\(-4\)

Wielomiany \(W(x)=ax(x+b)^2\) i \(V(x)=x^3+2x^2+x\) są równe. Oblicz \(a\) i \(b\).

\(a=1\), \(b=1\)

Wyrażenie \(\frac{3}{x-3}-\frac{x}{x+1}\) zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

\(\frac{-x^2+6x+3}{(x-3)(x+1)}\)

Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu \(2x-y-11=0\) i przechodzącej przez punkt \(P=(1,2)\).

\(y=2x\)

Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi \(Oy\), którego środkiem jest punkt \(S=(3, -5)\).

\((x-3)^2+(y+5)^2=9\)

Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie \(S = (3, -5)\) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.

\((x-3)^2+(y+5)^3=34\)

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową \(CD\) trójkąta \(ABC\), którego wierzchołkami są punkty \(A=(-2, -1)\), \(B = (6, 1)\), \(C = (7, 10)\).

\(y=2x-4\)

W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha \). Oblicz \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

\(\frac{2}{5}\)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha \).

\(\frac{47}{15}\)

Punkt \(D\) leży na boku BC trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD \) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AB| = |AD| = |CD|\). Oblicz miary kątów trójkąta \(ABC\).

\(72^\circ \), \(72^\circ \), \(36^\circ \)

Oblicz pole trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AB| = 24\) i \(|AC| = |BC| = 13\).

\(60\)

Liczby \(4, 10, c\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(c\).

\(c=10\)

Liczby \(6, 10, c\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(c\).

\(c=6\) lub \(c=10\)

Liczby \(6, 10, c\) są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz \(c\).

\(c=2\sqrt{34}\) lub \(c=8\)

Liczby \(x - 1, x, 5\) są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz \(x\).

\(x=5\) lub \(x=6\)

Obwód czworokąta wypukłego \(ABCD\) jest równy \(50\) cm. Obwód trójkąta \(ABD\) jest równy \(46\) cm, a obwód trójkąta \(BCD\) jest równy \(36\) cm. Oblicz długość przekątnej \(BD\).

\(|BD|=16\)

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = n^2 - 2n - 24\) dla \(n \ge 1\)?

\(5\)

Liczby \(2, x-3, 8\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).

\(x=7\)

Wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_n)\) są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez \(5\) dają resztę \(2\). Ponadto \(a_3 = 12\). Oblicz \(a_{15}\).

\(a_{15}=72\)

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste.

\(2125\)

Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(15\) lub \(20\)?

\(9\)

Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o \(2\) większa od cyfry jedności?

\(72\)

Na jednej prostej zaznaczono \(3\) punkty, a na drugiej \(4\) punkty. Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?

\(30\)

Średnia arytmetyczna liczb: \(3, 1, 1, 0, x, 0\) jest równa \(2\). Oblicz \(x\).

\(x=7\)

Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości.

\(\frac{9}{10}\)

Oblicz medianę danych: \(0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1\).

\(1\)

Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności

wartość	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
liczebność	\(4\)	\(3\)	\(1\)	\(1\)

\(1\)

Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(3\) lub przez \(2\).

\(\frac{7}{11}\)

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(15\).

\(\frac{1}{15}\)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego \(5\).

\(\frac{1}{18}\)

\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}4\). Oblicz \(P(A\cup B)\).

\(0{,}4\)

\(A\) i \(B\) są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w \(\Omega \), że \(A\subset B\) oraz \(P(A)=0{,}3\) i \(P(B)=0{,}7\). Oblicz prawdopodobieństwo różnicy \(B\backslash A\).

\(0{,}4\)

Przekątna sześcianu ma długość \(9\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

\(162\)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości \(12\). Wysokość stożka jest równa \(8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

\(60\pi \)

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.

\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Czworokąty \(ABCD\) i \(APQR\) są kwadratami. Udowodnij, że \(|BP| = |DR|\).

Na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) wybrano punkt \(D\) tak, by \(|\sphericalangle CAD| = |\sphericalangle ABC|\). Odcinek \(AE\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Udowodnij, że \(|AC| = |CE|\).

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr wybranych ze zbioru \(\{0,1,2,3\}\).

\(10392\)

Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.

\(\frac{7}{10}\)

Z miejscowości \(A\) i \(B\) oddalonych od siebie o \(182\) km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości \(B\) do miejscowości \(A\) jedzie ze średnią prędkością mniejszą od \(25\) km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) do miejscowości \(B\) wyjeżdża o \(1\) godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o \(7\) km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości \(A\) przebył do tego miejsca \(\frac{9}{13}\) całej drogi z \(A\) do \(B\). Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

\(v_1=7\) km/h, \(v_2=14\) km/h

Uczeń przeczytał książkę liczącą \(480\) stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \(8\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \(3\) dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.

\(15\)

Liczby \(a, b, c\) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa \(93\). Te same liczby, w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a, b\) i \(c\).

\(a=3\), \(b=15\), \(c=75\)

Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa \(10\), a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

\(a_n=2\) lub \(a_n=3n-7\)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta równoramiennego \(ACS\) jest równe \(120\) oraz \(|AC| : |AS| = 10 : 13\) . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

\(20\sqrt{313}\)

Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat \(ABCD\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że \(|AE|=15\), \(|BE|=17\).

\(\frac{64\sqrt{209}}{3}\)

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|BC| = 30\), \(|AC| = 40\), \(|AB| = 50\). Punkt \(W\) jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt \(ABC\) jest styczny do boku \(AB\) w punkcie \(M\). Oblicz długość odcinka \(CM\).

\(2\sqrt{145}\)

\(\frac{750}{169}\)

Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).

Udowodnij, że jeśli:

a) \(x, y\) są liczbami rzeczywistymi, to \(x^2 + y^2 \ge 2xy\).
b) \(x, y, z\) są liczbami rzeczywistymi takimi, że \(x + y + z = 1\), to \(x^2 + y^2 + z^2 \ge 1/3\).

Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AD| = |CD|\) oraz \(|AB| = |BD|\) (patrz rysunek). Udowodnij, że \(|\sphericalangle ADC| = 5\cdot |\sphericalangle ACD| \) .

Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku \(O\) i średnicach odpowiednio \(AB\) i \(CD\) (punkty \(A, B, C, D\) i \(O\) są współliniowe). Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu, punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu, punkty \(O, P\) i \(R\) są współliniowe. Udowodnij, że \(|\sphericalangle APB| + |\sphericalangle CRD| = 180^\circ\).

Matura podstawowa - zadania CKE - drugi zestaw