Wykres proporcjonalności odwrotnej

Jeżeli wielkości \( x \) i \( y \) są odwrotnie proporcjonalne, to:
\[x\cdot y=a\] gdzie \( a \) - to liczba stała.
Jeżeli podzielimy to równanie stronami przez \( x \) to otrzymamy wzór: \[y=\frac{a}{x}\] Wykresem funkcji określonej wzorem \( y=\frac{a}{x} \) jest hiperbola.

Narysuj zależność dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych opisanych równaniem:\[x\cdot y=1\]

Przekształcamy wzór dzieląc go stronami przez \( x \): \[y=\frac{1}{x}\] Dla tak otrzymanego wzoru funkcji wyznaczamy kilka punktów należących do wykresu:

\( x \)	\( 0{,}2 \)	\( 0{,}5 \)	\( 1 \)	\( 2 \)	\( 4 \)
\( y=\frac{1}{x} \)	\( 5 \)	\( 2 \)	\( 1 \)	\( 0{,}5 \)	\( 0{,}25 \)

Następnie rysujemy wykres:

Wykres narysowaliśmy tylko dla \( x > 0 \).

Motocyklista jadący z prędkością \(80 \frac{\text{km}}{\text{h}}\) pokonuje pewną drogę w \(3\) godziny.
Wyznacz funkcję prędkości od czasu, a następnie naszkicuj jej wykres.

Zaczynamy od wyznaczenia wzoru funkcji. Wprowadźmy oznaczenia:

\( x \) - prędkość
\( y \) - czas

Korzystając z faktu, że prędkość i czas są wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, zapisujemy równanie: \[x\cdot y=80\cdot 3\] Wyznaczamy z tego równania niewiadomą \( y \): \[\begin{split}\quad \quad \quad \quad x\cdot y&=240\quad \quad \quad //:x\\y&=\frac{240}{x}\end{split}\] Zatem szukany wzór funkcji to: \[\begin{split}y&=\frac{240}{x}\end{split}\] Dla tak otrzymanego wzoru funkcji wyznaczamy kilka punktów:

\( x \)	\( 2 \)	\( 10 \)	\( 20 \)	\( 30 \)	\( 80 \)
\( y=\frac{240}{x} \)	\( 120 \)	\( 24 \)	\( 12 \)	\( 8 \)	\( 3 \)

i rysujemy wykres:

Z wykresu (oraz z tabelki) możemy odczytać, że:

z prędkością \( 2 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 120 \) godzin.
z prędkością \( 10 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 24 \) godziny.
z prędkością \( 20 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 12 \) godzin.
z prędkością \( 30 \frac{\text{km}}{\text{h}} \) motocyklista będzie jechał \( 8 \) godzin.