Jesteś tutaj: SzkołaFunkcjeFunkcja liniowaWykres funkcji liniowej
◀ Definicja funkcji liniowej

Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta.
Żeby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty, które do niego należą.
Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=x+3\).
Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta.
Dla \(x=0\) mamy: \[y=0+3=3\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,3)\).
Dla \(x=1\) mamy: \[y=1+3=4\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((1,4)\).
Teraz możemy zaznaczyć punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą:
Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=2x-1\).
Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta.
Dla \(x=0\) mamy: \[y=2\cdot 0-1=0-1=-1\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,-1)\).
Dla \(x=1\) mamy: \[y=2\cdot 1-1=2-1=1\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((1,1)\).
Teraz możemy zaznaczyć punkty na wykresie i narysować prostą:
Narysuj wykres funkcji liniowej \(y=-\frac{1}{3}x-2\).
Obliczamy współrzędne dwóch dowolnych punktów przez które przechodzi nasza prosta.
Dla \(x=0\) mamy: \[y=-\frac{1}{3}\cdot 0-2=0-2=-2\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((0,-2)\).
Dla \(x=3\) mamy: \[y=-\frac{1}{3}\cdot 3-2=-1-2=-3\] Czyli do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych \((3,-3)\).
Teraz możemy zaznaczyć punkty w układzie współrzędnych i narysować prostą:
Na filmie pokazuję praktyczną metodę na szybkie rysowanie dokładnych wykresów funkcji liniowych.
Czas nagrania: 13 min.

Kiedy funkcja liniowa jest rosnąca, a kiedy malejąca?

Weźmy funkcję liniową: \[y=ax+b\]
gdzie:
\(a\) - to współczynnik kierunkowy,
\(b\) - to wyraz wolny.
Wówczas:
  • jeżeli \(a \gt 0\), to funkcja liniowa jest rosnąca,
  • jeżeli \(a \lt 0\), to funkcja liniowa jest malejąca,
  • jeżeli \(a = 0\), to funkcja liniowa jest stała.
Ponadto wyraz wolny \(b\), to punkt przecięcia funkcji liniowej z osią \(Oy\). Na powyższym rysunku prosta jest rosnąca, czyli \(a \gt 0\).

Miejsce zerowe

Miejsce zerowe funkcji liniowej można obliczyć przyrównując wzór funkcji do zera: \[ax+b=0\] Z powyższego równania wynika wzór: \[x=-\frac{b}{a}\]

Proste równoległe i prostopadłe

Dwie proste o równaniach \[\begin{split} &y=a_1x+b_1\\[6pt] &y=a_2x+b_2 \end{split}\]
  • równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe, czyli: \[a_1=a_2\]
  • prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność: \[a_1\cdot a_2=-1\]
Więcej materiałów o prostych równoległych i prostopadłych znajdziesz w rozdziale: Proste równoległe i prostopadłe.
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej \(y=ax+b\). Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(b\)?
A.\(a\lt 0\) i \(b\lt 0\)
B.\(a\lt 0\) i \(b>0\)
C.\(a>0\) i \(b\lt 0\)
D.\(a>0\) i \(b>0\)
A
Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\), gdzie \(a>0\) i \(b\lt 0\). Wskaż ten wykres.
C
Funkcja \(f(x) = 0{,}5x - 6\)
A.jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0, 6)\)
B.jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0, 6)\)
C.jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0, -6)\)
D.jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt \((0, -6)\)
D
Funkcja liniowa \( f(x)=(m^2-4)x+2 \) jest malejąca, gdy
A.\(m\in (-\∞,-2) \)
B.\(m\in (2,+\∞) \)
C.\(m\in \lbrace -2,2 \rbrace \)
D.\(m\in (-2,2) \)
D
Funkcja liniowa \( f(x)=ax+b\ \) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że
A.\(a>0\) i \( b>0 \)
B.\(a\lt 0\) i \( b\lt 0 \)
C.\(a\lt 0\) i \( b>0 \)
D.\(a>0\) i \( b\lt 0 \)
D
Na rysunku przedstawiono fragment prostej o równaniu \(y=ax+b\). Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy
A.\( a=-\frac{3}{2} \)
B.\( a=-\frac{2}{3} \)
C.\( a=-\frac{2}{5} \)
D.\( a=-\frac{3}{5} \)
B
Wykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych
A.\( (0,-3) \)
B.\( (-3,0) \)
C.\( (0,2) \)
D.\( (0,3) \)
A
Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=(m\sqrt{5}-1)x+3\). Ta funkcja jest rosnąca dla każdej liczby \(m\) spełniającej warunek
A.\( m\gt\frac{1}{\sqrt{5}} \)
B.\( m\gt1-\sqrt{5} \)
C.\( m\lt\sqrt{5}-1 \)
D.\( m\lt\frac{1}{\sqrt{5}} \)