Poziom rozszerzony - dodatkowe zadania treningowe

W tym dziale umieszczę zadania treningowe do matury rozszerzonej z matematyki przygotowane przez Centralnej Komisji Egzaminacyjnej.
Niektóre z zamieszczonych tutaj zadań nie są na tyle skomplikowane, aby pojawić się w takiej formie na egzaminie maturalnym. Zawierają jednak różne ważne pojęcia z poziomu rozszerzonego, które często trzeba wykorzystywać w bardziej rozbudowanych zadaniach.

Oblicz \(\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2\).

\(2\)

Miary dwóch kątów trójkąta wynoszą \(\frac{\pi }{6}\) i \(\frac{\pi }{5}\). Oblicz miarę trzeciego kąta. Odpowiedź podaj w stopniach.

\(114^\circ \)

Dane jest równanie \(\sin x = a^2 + 1\), z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których dane równanie nie ma rozwiązań.

\(a\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)

Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)=\begin{cases} x+5 &\text{ dla } x\lt -5 \\ -x+2 &\text{ dla } -5\le x\lt 5 \\ x-6 &\text{ dla } x\ge 5 \end{cases} \). Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.

\(x=2\) lub \(x=6\)

W kolejce do kasy biletowej ustawiły się cztery dziewczynki, a za nimi pięciu chłopców. Oblicz liczbę wszystkich możliwych ustawień osób w tej kolejce.

\(4!\cdot 5!\)

Rozwiąż równanie \(\log_5(\log_4(\log_2x))=0\).

\(x=16\)

Funkcja f jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{x+1}-1\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\ne -1\). Rozwiąż nierówność \(f(x)\gt f(2-x)\).

\(x\in (-1;1)\cup (3;+\∞ )\)

Narysuj wykres funkcji f określonej w przedziale 〈-2, 2〉 wzorem:
a) f(x) = 2^x - 1 b) f(x) = 2^{x - 1}.

Pole wycinka koła o promieniu 3 cm jest równe 2 cm². Oblicz miarę łukową kąta środkowego tego wycinka.

\(\alpha =\frac{4}{9}\) [rad]

Punkty A = (1, 1), B = (5, 5), C = (3, 5) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD niebędącego równoległobokiem, w którym AB || CD.
a) Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu.
b) Oblicz pole tego trapezu.

a) \(y=-x+6\)
b) \(P=6\)

Na okręgu zaznaczono sześć różnych punktów. Ile różnych wielokątów wypukłych o wszystkich wierzchołkach w tych punktach można narysować?

\(42\)

Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu x¹⁷ - mx¹⁵ + (m - 2) x¹⁰ + 2x +m² - 2 przez dwumian x - 1 jest równa 3?

\(m=2\) lub \(m=-2\)

Wyznacz równanie okręgu o środku A = (2, 3), stycznego do prostej o równaniu x - 2y + 1 = 0.

\((x-2)^2+(y-3)^2=\frac{9}{5}\)

Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb x, które spełniają równość |x - 1| + |x - 3| = 2. Niech B będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów 4 i 6 jest niewiększa niż 4. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do A i do B.

\(A\cap B=\{3\}\)

Przedział \(\left (-\frac{3}{2}, 0 \right )\) jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{x} \lt m\) z niewiadomą \(x\). Oblicz \(m\).

\(m=-\frac{4}{3}\)

Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 6, których dwa sąsiednie boki zawarte są w osiach Ox i Oy układu współrzędnych. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem tych wierzchołków rozpatrywanych prostokątów, które nie leżą na żadnej z osi układu współrzędnych. Narysuj tę krzywą.

\(|y|=\frac{6}{|x|}\)