Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
Gdy dane są punkty \(A = (x_A, y_A)\) i \(B = (x_B,
y_B)\), to równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty wyraża się wzorem:
\[(y-y_A)(x_B-x_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0\] lub zapisane w postaci kierunkowej:
\[y=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}x+\left (y_A-\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}\cdot x_A\right )\] Równanie prostej
przechodzącej przez dwa punkty można również wyznaczyć rozwiązując układ równań.
Metoda wyznaczania równania prostej przechodzącej przez dwa punkty z układu równań
Załóżmy, że chcemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\(A=(5,6)\) oraz \(B=(7,11)\).
Zapisujemy równanie prostej w postaci kierunkowej:
\[y=ax+b\] Podstawiamy do tego równania współrzędne punktu \(A\): \[6=a\cdot 5+b\] oraz punktu
\(B\): \[11=a\cdot 7+b\] W ten sposób otrzymujemy dwa równania z dwiema niewiadomymi \(a\) oraz
\(b\): \begin{cases} 6=5a+b \\ 11=7a+b \end{cases} Rozwiązujemy powyższy układ równań, np. odejmując
równania stronami: \[\begin{split} 6-11&=5a-7a\\[6pt] -5&=-2a\\[6pt] a&=\frac{5}{2} \end{split}\]
Zatem np. z pierwszego równania: \[b=6-5a=6-5\cdot
\frac{5}{2}=\frac{12}{2}-\frac{25}{2}=-\frac{13}{2}\] Czyli ostatecznie szukane równanie prostej
jest postaci: \[y=\frac{5}{2}x-\frac{13}{2}\]
Dane są punkty \(A = (0,2)\) oraz \(B = (2,1)\). Wyznacz równanie prostej \(AB\).
\(y=-\frac{1}{2}x+2\)
Dane są punkty \(A = (6, 1)\) i \(B = (3, 3)\). Współczynnik kierunkowy prostej
\(AB\) jest równy
A.\( -\frac{2}{3} \)
B.\( -\frac{3}{2} \)
C.\( \frac{3}{2} \)
D.\( \frac{2}{3} \)
A
Do wykresu funkcji liniowej należą punkty \(A=(1,2)\) i \(B=(-2,5)\). Funkcja \(f\)
ma wzór
A.\( f(x)=x+3 \)
B.\( f(x)=x-3 \)
C.\( f(x)=-x-3 \)
D.\( f(x)=-x+3 \)
D
O funkcji liniowej \( f \) wiadomo, że \( f(1)=2 \). Do wykresu tej funkcji należy
punkt \( P=(-2,3) \). Wzór funkcji \( f \) to
A.\(f(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} \)
B.\(f(x)=-\frac{1}{2}x+2 \)
C.\(f(x)=-3x+7 \)
D.\(f(x)=-2x+4 \)
A
Wskaż równanie prostej, której fragment przedstawiony jest na poniższym wykresie
A.\( x-2y-4=0 \)
B.\( x+2y+4=0 \)
C.\( x-2y+4=0 \)
D.\( x+2y-4=0 \)
D
Dane są punkty \(M=(3,-5)\) oraz \(N=(-1,7)\). Prosta przechodząca przez te punkty
ma równanie
A.\( y=-3x+4 \)
B.\( y=3x-4 \)
C.\( y=-\frac{1}{3}x+4 \)
D.\( y=3x+4 \)
A
Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A = (−4,3)\) oraz \(B =
(8,7)\), jest równy
A.\( a=3 \)
B.\( a=-1 \)
C.\( a=\frac{5}{6} \)
D.\( a=\frac{1}{3} \)
D