Prawdopodobieństwo warunkowe

W tym nagraniu wideo omawiam prawdopodobieństwo warunkowe na kilku przykładach.

Wykonano rzut sześcienną kostką do gry. Wyznacz prawdopodobieństwo wyrzucenia więcej niż trzech oczek, jeśli wiadomo, że wypadła parzysta liczba oczek.

Wprowadźmy oznaczenia:

\(\Omega \) - jeden rzut kostką do gry,
\(A\) - wyrzucono więcej niż trzy oczka,
\(B\) - wyrzucono parzystą liczbę oczek,
\(A\cap B\) - wyrzucono parzystą liczbę oczek większą od 3.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Liczymy moce zbiorów:

\(|\Omega |=|\{1,2,3,4,5,6\}|=6\)

\(|A |=|\{4,5,6\}|=3\)

\(|B |=|\{2,4,6\}|=3\)

\(|A\cap B |=|\{4,6\}|=2\)

Teraz liczymy prawdopodobieństwa:

\(P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{|\Omega |}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

\(P(B)=\frac{|B|}{|\Omega |}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\]

W urnie jest \(8\) kul: \(4\) białe i \(4\) czarne. Wybieramy losowo bez zwracania 2 kule. Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana kula będzie czarna, gdy pierwsza wylosowana kula była biała.

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - druga wylosowana kula jest czarna,
\(B\) - pierwsza wylosowana kula jest biała,
\(A\cap B\) - pierwsza wylosowana kula jest biała, a druga wylosowana kula jest czarna.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Liczymy potrzebne prawdopodobieństwa:

\(P(B)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

\(P(A\cap B)=\frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{2}{7}\)

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{2}{7}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{7}\]

Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła szóstka, jeśli na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - na żadnej kostce nie wypadła szóstka,
\(B\) - na każdej kostce wypadła inna liczba oczek,
\(A\cap B\) - na każdej kostce wypadła inna liczba oczek i nie wypadła ani jedna szóstka.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Liczymy potrzebne prawdopodobieństwa:

\(P(B)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6^3}\)

\(P(A\cap B)=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{6^3}\)

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{5\cdot 4\cdot 3}{6^3}}{\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6^3}} =\frac{5\cdot 4\cdot 3}{6^3}\cdot \frac{6^3}{6\cdot 5\cdot 4}=\frac{1}{2}\]

Wybrano losową rodzinę z dwojgiem dzieci. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrano rodzinę z dwoma chłopcami, jeśli:

a)

młodsze dziecko jest chłopcem.

b)

jest co najmniej jeden chłopiec.

a)

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - wybrano rodzinę z dwoma chłopcami,
\(B\) - młodsze dziecko jest chłopcem,
\(A\cap B\) - młodsze dziecko jest chłopcem i starsze dziecko jest chłopcem.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). Młodsze dziecko może być z równym prawdopodobieństwem chłopcem jak i dziewczynką. Zatem: \[P(B)=\frac{1}{2}\]

Obliczamy teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\cap B\). Prawdopodobieństwo, że młodsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\) oraz prawdopodobieństwo, że starsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\), zatem: \[P(A\cap B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\]

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\cdot 2=\frac{1}{2}\]

b)

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - wybrano rodzinę z dwoma chłopcami,
\(B\) - w rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec,
\(A\cap B\) - w rodzinie jest dwóch chłopców.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). W rodzinie mamy dwoje dzieci i chcemy, żeby był co najmniej jeden chłopiec, zatem mamy \(3\) możliwości: \[(\text{chłopiec}, \text{dziewczynka}),\quad (\text{dziewczynka},\text{chłopiec}),\quad (\text{chłopiec},\text{chłopiec})\] Łączne wszystkich możliwości jest \(4\): \[(\text{chłopiec}, \text{dziewczynka}),\quad (\text{dziewczynka},\text{chłopiec}),\quad (\text{chłopiec},\text{chłopiec}),\quad (\text{dziewczynka},\text{dziewczynka}),\] Zatem: \[P(B)=\frac{3}{4}\]

Obliczamy teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\cap B\). Prawdopodobieństwo, że młodsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\) oraz prawdopodobieństwo, że starsze dziecko jest chłopcem wynosi \(\frac{1}{2}\), zatem: \[P(A\cap B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\]

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{3}\]

Łucznik strzela do tarczy \(10\) razy. Przy każdym strzale ma \(90\%\) szansy na trafienie w cel. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łucznik trafił do tarczy \(10\) razy, jeśli wiadomo, że co najmniej \(3\) z \(5\) ostatnich strzałów były celne?

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - łucznik trafił do tarczy \(10\) razy,
\(B\) - łucznik trafił co najmniej \(3\) z \(5\) ostatnich strzałów,
\(A\cap B\) - łucznik trafił do tarczy \(10\) razy.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia \(B\). Korzystamy ze schematu Bernoulliego. Ponieważ łucznik ma trafić co najmniej \(3\) z \(5\) ostatnich strzałów, zatem musimy obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania \(3\) sukcesów w \(5\) próbach, \(4\) sukcesów w \(5\) próbach i \(5\) sukcesów w \(5\) próbach przy prawdopodobieństwie sukcesu \(p=\frac{9}{10}\). Suma tych prawdopodobieństw, to prawdopodobieństwo zdarzenia \(B\): \[\begin{split} P(B)&=\binom{5}{3}\cdot \left (\frac{9}{10} \right )^3 \cdot \left (\frac{1}{10} \right )^2+ \binom{5}{4}\cdot \left (\frac{9}{10} \right )^4 \cdot \left (\frac{1}{10} \right )^1+ \left (\frac{9}{10} \right )^5=\\[6pt] &=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \frac{9^3}{10^5}+ \frac{5!}{4!}\cdot \frac{9^4}{10^5}+ \frac{9^5}{10^5}=\\[6pt] &=\frac{10\cdot 9^3}{10^5}+\frac{5\cdot 9^4}{10^5}+\frac{9^5}{10^5}=\\[6pt] &=\frac{10\cdot 9^3+5\cdot 9^4+9^5}{10^5}= \frac{9^3(10 +5\cdot 9+9^2)}{10^5}=\frac{136\cdot 9^3}{10^5} \end{split}\]

Liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\cap B\): \[ P(A\cap B)=\left (\frac{9}{10} \right )^{10}=\frac{9^{10}}{10^{10}} \]

Zatem mamy ostatecznie: \[ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{9^{10}}{10^{10}}}{\frac{136\cdot 9^3}{10^5}} =\frac{9^{10}}{10^{10}}\cdot \frac{10^5}{136\cdot 9^3} =\frac{9^7}{136\cdot10^5} \]

Z grupy 8 osób - czterech chłopców i czterech dziewcząt - wybieramy losowo 2 osoby. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrano dwóch chłopców, jeśli wiadomo, że:

a)

wybrano co najmniej jednego chłopca

b)

wśród wybranych osób jest najstarszy chłopiec

a)

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - wybrano dwóch chłopców,
\(B\) - wybrano co najmniej jednego chłopca,
\(A\cap B\) - wybrano dwóch chłopców.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). Wybrano co najmniej jednego chłopca, zatem wybrano albo dwóch chłopców, albo chłopca i dziewczynkę. \[P(B)=\frac{\binom{4}{2}+\binom{4}{1}\cdot \binom{4}{1}}{\binom{8}{2}} =\frac{6+4\cdot 4}{\frac{7\cdot 8}{2}} =\frac{22}{28}\]

Obliczamy teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\cap B\), czyli wybrania dwóch chłopców: \[P(A\cap B)=\frac{\binom{4}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{6}{28}\]

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{6}{28}}{\frac{22}{28}}=\frac{6}{28}\cdot \frac{28}{22}=\frac{3}{11}\]

b)

Wprowadźmy oznaczenia:

\(A\) - wybrano dwóch chłopców,
\(B\) - wśród wybranych osób jest najstarszy chłopiec,
\(A\cap B\) - wybrano dwóch chłopców i jest wśród nich najstarszy chłopiec.

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\), pod warunkiem, że zaszło zdarzenie \(B\). Skorzystamy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\]

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(B\). Wybrano najstarszego chłopca spośród \(4\) chłopców i do niego dobrano jeszcze dowolną inną osobę spośród pozostałych \(7\) osób. W tym przypadku wszystkie osoby są rozróżnialne (ze względu na wiek), zatem musimy uwzględnić kolejność wybierania: \[P(B)=\frac{\binom{2}{1}\cdot 7}{8\cdot 7}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\] Symbol Newtona \(\binom{2}{1}\) w liczniku, to wybór \(1\) miejsca z \(2\) dla najstarszego chłopca.

Obliczymy teraz prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(A\cap B\), czyli wybrania dwóch chłopców, wśród których jest najstarszy chłopiec. Na początku wybieramy miejsce dla najstarszego chłopca, a potem dobieramy od niego jednego z \(3\) pozostałych chłopców: \[P(A\cap B)=\frac{\binom{2}{1}\cdot 3}{8\cdot 7}=\frac{3}{28}\]

Zatem mamy ostatecznie: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{28}}{\frac{1}{4}}=\frac{3}{28}\cdot 4=\frac{3}{7}\]