Matura rozszerzona - kurs - część 34 - zadania

W trójkąt równoramienny \(ABC\) wpisano kwadrat w taki sposób, że bok \(DE\) kwadratu zawiera się w podstawie \(AB\) trójkąta, a wierzchołki \(F\) i \(G\) kwadratu leżą odpowiednio na ramionach \(BC\) i \(AC\) trójkąta (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(CFG\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADG\) i \(BEF\). Oblicz sinus kąta ostrego, pod jakim przecinają się odcinki \(DF\) i \(BG\).

Dany jest trójkąt \(ABC\) o polu równym \(P\). Odcinki \(IJ\) i \(GH\), których końce leżą na bokach trójkąta, są równoległe do boku \(AB\) i przecinają wysokość \(CD\) w punktach \(E\) i \(F\) takich, że \(|CE|=|DF|=\frac{1}{4}\cdot |CD|\) (zobacz rysunek). Pole trapezu \(GHJI\) jest równe

Na podstawie AB trapezu \(ABCD\) (\(|AB|\gt |CD|\)) wyznaczono taki punkt \(E\), że czworokąt \(AECD\) jest równoległobokiem. Przekątna \(BD\) przecina odcinki \(CA\) i \(CE\) odpowiednio w punktach \(F\) i \(G\). Odcinki \(DG\) i \(BF\) są równej długości. Uzasadnij, że \(\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).