Matura podstawowa z matematyki - kurs - geometria przestrzenna

Objętość sześcianu jest równa \(27\) cm³. Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu?

A.\( 18 \) cm

B.\( 36 \) cm

C.\( 24 \) cm

D.\( 12 \) cm

B

Objętość sześcianu, w którym przekątna ściany bocznej ma długość \(\frac{\sqrt{2}}{4}\), jest równa

A.\( \frac{1}{64} \)

B.\( \frac{1}{16} \)

C.\( 16 \)

D.\( 64 \)

A

Suma długości krawędzi sześcianu wynosi \(24\) cm. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:

A.\( 32 \) cm²

B.\( 24 \) cm²

C.\( 16 \) cm²

D.\( 8 \) cm²

B

Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

A.\( 512 \)

B.\( 384 \)

C.\( 96 \)

D.\( 16 \)

C

Objętość sześcianu jest równa \(27\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

A.\( 54 \)

B.\( 18 \)

C.\( 12\sqrt{3} \)

D.\( 24\sqrt{3} \)

A

Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe \( 4 \). Objętość tego sześcianu jest równa

A.\(6 \)

B.\(8 \)

C.\(24 \)

D.\(64 \)

B

Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa \(24\). Objętość tego sześcianu jest równa

A.\( 64 \)

B.\( 27 \)

C.\( 24 \)

D.\( 8 \)

D

Objętość sześcianu jest równa \(27\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A.\( 2\sqrt{2} \)

B.\( 3\sqrt{2} \)

C.\( 2\sqrt{3} \)

D.\( 3\sqrt{3} \)

D

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o \(10\) większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest

A.czworokąt

B.pięciokąt

C.sześciokąt

D.dziesięciokąt

B

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości \(7\) jest równa \(28\sqrt{3}\) . Długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa

A.\( 2 \)

B.\( 4 \)

C.\( 8 \)

D.\( 16 \)

B

Graniastosłup ma \(15\) krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup?

A.\( 10 \)

B.\( 5 \)

C.\( 15 \)

D.\( 30 \)

A

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\), a kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy \(60^\circ \). Długość tej przekątnej jest równa

A.\(3\)

B.\(\sqrt{3}\)

C.\(2\sqrt{3}\)

D.\(4\sqrt{3}\)

D

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

A.\( 300 \)

B.\( 300\sqrt{3} \)

C.\( 300+50\sqrt{3} \)

D.\( 300+25\sqrt{3} \)

C

Graniastosłup ma \(2n+6\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

A.\( n+3 \)

B.\( 4n+8 \)

C.\( 6n+18 \)

D.\( 3n+9 \)

D

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\). Oblicz pole trójkąta \(ABF\) wiedząc, że \(|AB|=10\) i \(|CF|= 11\). Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt \(ABF\).

\(P=70\)

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD, BE\) i \(CF\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy \(AB\) jest równa \(8\), a pole trójkąta \(ABF\) jest równe \(52\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

\(V=176\sqrt{3}\)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.

\(V=\frac{32\sqrt{3}}{3}\)

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ma długość \(2\sqrt{219}\), a krawędź podstawy - \(10\sqrt{2}\).

Wyznacz:

Wysokość graniastosłupa.
Pole trójkąta \(EFG\), którego wierzchołkami są środki trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka podstawy.

\(H=2\sqrt{119}\), \(P_{\Delta EFG}=60\)

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa \(24\). Wtedy liczba wszystkich jego wierzchołków jest równa

A.\( 6 \)

B.\( 8 \)

C.\( 12 \)

D.\( 16 \)

D

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o \(4\) krótsza od przekątnej podstawy i o \(8\) krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.

\(\sin \alpha =\frac{3}{5}\)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \( ABCDEFGH \) połączono punkty będące środkami krawędzi \( BC \), \( CD \), \( AD \) i \( GH \). Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że \( \vert{DB}\vert=5\sqrt{2} \) i kąt \( DBH \) ma miarę \( 60^\circ \).

\(V=\frac{125\sqrt{6}}{12}\)

Graniastosłup ma \( 10 \) ścian. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi:

A.\(8 \)

B.\(16 \)

C.\(24 \)

D.\(32 \)

C

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach \(5\times 3\times 4\) jest równe

A.\( 94 \)

B.\( 60 \)

C.\( 47 \)

D.\( 20 \)

A

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach \(2 \times 3 \times 5\) ma długość

A.\( \sqrt{13} \)

B.\( \sqrt{29} \)

C.\( \sqrt{34} \)

D.\( \sqrt{38} \)

D

Wykaż, że przekątna prostopadłościanu o krawędziach długości \(a, b, c\) ma długość \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).

Dany jest prostopadłościan, którego podstawą jest kwadrat o krawędzi długości \(x + 5\), a wysokość ma długość \(2x + 4\). Podaj wzór, w postaci wyrażenia algebraicznego, opisujący pole powierzchni tego prostopadłościanu. Przekształć to wyrażenie do najprostszej postaci.

\(P=10x^2+76x+130\)

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \( 198 \). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \( 1:2:3 \). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

\(3\sqrt{14}\)

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Siatką ostrosłupa czworokątnego \(ABCDE\) jest

B

Krawędź sześcianu ma długość \(9\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A.\( \sqrt[3]{9} \)

B.\( 9\sqrt{2} \)

C.\( 9\sqrt{3} \)

D.\( 9+9\sqrt{2} \)

C

Przekątna sześcianu ma długość \(3\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

A.\( 54 \)

B.\( 36 \)

C.\( 18 \)

D.\( 12 \)

C

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(24\) cm². Objętość tego sześcianu jest równa

A.\( 8 \) cm³

B.\( 16 \) cm³

C.\( 27 \) cm³

D.\( 64 \) cm³

A

Długość krawędzi sześcianu zwiększono o \(20\%\). Oblicz, o ile procent wzrosła objętość tego sześcianu.

\(72{,}8\%\)

Przekątna sześcianu ma długość \(9\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

\(162\)

Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu, a jego płaszczyzną podstawy.

\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Krawędź sześcianu jest o \(4\) krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

\(P_c=96+48\sqrt{3}\)

Długość krawędzi sześcianu jest o \(2\) krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.

\(3+\sqrt{3}\)

Przekątna ściany sześcianu ma długość \( 5\sqrt{2} \). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe:

A.\(5 \)

B.\(25 \)

C.\(150 \)

D.\(125 \)

C

Ostrosłup ma \(18\) wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa

A.\( 11 \)

B.\( 18 \)

C.\( 27 \)

D.\( 34 \)

D

Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).

Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeśli wiadomo, że \(AD = 12\), \(BC = 6\), \(BD = CD = 13\).

\(V=48\)

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb \(ABCD\) o boku długości \(4\). Kąt \(ABC\) rombu ma miarę \(120^\circ \) oraz \(|AS|=|CS|=10\) i \(|BS|=|DS|\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

\(\sin \alpha =\sqrt{\frac{22}{23}}\)

Podstawą ostrosłupa \(ABCDW\) jest prostokąt \(ABCD\). Krawędź boczna \(DW\) jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne \(AW\), \(BW\) i \(CW\) mają następujące długości: \(|AW| = 6\), \(|BW| = 9\), \(|CW| = 7\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\(8\sqrt{10}\)

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wysokość \(SE\) ściany bocznej \(ADS\) jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a punkt \(E\) jest środkiem krawędzi \(AD\) (zobacz rysunek). Pole ściany \(ADS\) jest równe \(12\) cm², a objętość ostrosłupa jest równa \(48\) cm³. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej \(CS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do \(1^\circ \).

\(31^\circ \)

Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat \(ABCD\). Punkt \(F\) jest środkiem krawędzi \(AD\), odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że \(|AE|=15\), \(|BE|=17\).

\(\frac{64\sqrt{209}}{3}\)

Jeżeli ostrosłup ma \( 10 \) krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa

A.\(5 \)

B.\(7 \)

C.\(8 \)

D.\(10 \)

A

Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa \( 81\sqrt{3} \). Objętość graniastosłupa jest równa

A.\(27 \)

B.\(27\sqrt{3} \)

C.\(243 \)

D.\(243\sqrt{3} \)

D

Kąt \(\alpha \) nachylenia ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy zaznaczony jest na rysunku:

C

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość \(5\) cm, a krawędź podstawy \(\sqrt{8}\) cm. Wówczas cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy:

A.\( \frac{\sqrt{2}}{5} \)

B.\( 0{,}6 \)

C.\( 0{,}4 \)

D.\( \frac{\sqrt{8}}{10} \)

C

Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(100\) cm², a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260\) cm². Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\(V=400\)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

\(\sin \alpha =\frac{\sqrt{42}}{7}\)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Pole trójkąta równoramiennego \(ACS\) jest równe \(120\) oraz \(|AC| : |AS| = 10 : 13\) . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

\(20\sqrt{313}\)

Piramida Cheopsa ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Każda ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(52^\circ \), a pole powierzchni ściany bocznej jest równe \(21\ 550 \) m². Oblicz objętość piramidy. Wynik zapisz w postaci \(a\cdot 10k\), gdzie \(1\le a\lt 10\) i \(k\) jest liczbą całkowitą.

\(2{,}61\cdot 10^6\)

Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego wysokość jest równa \(6\), a długość krawędzi bocznej jest równa \(2\sqrt{15}\). Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej piramidy do podstawy.

\(60^\circ \)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym objętość jest równa \(32\), zaś krawędź podstawy jest równa \(4\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

A.\( \frac{2}{3} \)

B.\( \frac{4}{3} \)

C.\( 2 \)

D.\( 6 \)

D

Drut o długości \(96\) cm wykorzystano w całości na wykonanie szkieletu ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wszystkich krawędziach równej długości. Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy i wyznacz cosinus tego kąta.

\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \( 22 \), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy \( \frac{4\sqrt{6}}{5} \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\(V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}\)

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(24\), a kąt płaski ściany bocznej przy podstawie ma miarę \(\alpha \) i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ\). Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi jest równa \(4\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

\(V=\frac{128\sqrt{3}}{3}\)

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.

\(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{9}\)

Pole powierzchni bocznej walca, którego podstawa ma średnicę \(4\) jest równe \(8\pi \). Wysokość tego walca jest równa

A.\( 8 \)

B.\( 4 \)

C.\( 2 \)

D.\( \frac{1}{2} \)

C

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku \(a\). Jeżeli \(r\) oznacza promień podstawy walca, \(h\) oznacza wysokość walca, to

A.\( r+h=a \)

B.\( h-r=\frac{a}{2} \)

C.\( r-h=\frac{a}{2} \)

D.\( r^2+h^2=a^2 \)

B

Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości \(6\). Objętość tego walca jest równa

A.\( 18\pi \)

B.\( 54\pi \)

C.\( 108\pi \)

D.\( 216\pi \)

B

Objętość walca o wysokości \(8\) jest równa \(72\pi\). Promień podstawy tego walca jest równy

A.\( 9 \)

B.\( 8 \)

C.\( 6 \)

D.\( 3 \)

D

Objętość walca, w którym wysokość jest trzykrotnie dłuższa od promienia podstawy, jest równa \( 24\pi \). Zatem promień podstawy tego walca ma długość

A.\(4 \)

B.\(8 \)

C.\(2 \)

D.\(6 \)

C

Pole powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości \( 4 \), jest równe

A.\(256\pi \)

B.\(128\pi \)

C.\(48\pi \)

D.\(24\pi \)

D

Pole powierzchni bocznej stożka o wysokości \(4\) i promieniu podstawy \(3\) jest równe

A.\( 9\pi \)

B.\( 12\pi \)

C.\( 15\pi \)

D.\( 16\pi \)

C

Jeśli średnica podstawy stożka jest równa \(12\), a wysokość stożka \(8\), to kąt \(\alpha\) między wysokością stożka, a jego tworzącą jest taki, że:

A.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{8} \)

B.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{8}{12} \)

C.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{6}{8} \)

D.\( \operatorname{tg} \alpha =\frac{8}{6} \)

C

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Objętość tego stożka wyraża się wzorem

A.\( \frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^3 \)

B.\( \frac{\sqrt{3}}{8}\pi a^3 \)

C.\( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi a^3 \)

D.\( \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \)

D

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(4\) i \(6\) obracamy wokół dłuższej przyprostokątnej. Objętość powstałego stożka jest równa

A.\( 96\pi \)

B.\( 48\pi \)

C.\( 32\pi \)

D.\( 8\pi \)

C

Tworząca stożka ma długość \(4\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \). Objętość tego stożka jest równa

A.\( \frac{8\sqrt{3}\pi }{3} \)

B.\( \frac{10\sqrt{3}\pi }{3} \)

C.\( 3\sqrt{3}\pi \)

D.\( 16 \)

A

Tworząca stożka ma długość \( 4 \) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \( 45^\circ \). Wysokość tego stożka jest równa

A.\(2\sqrt{2} \)

B.\(16\pi \)

C.\(4\sqrt{2} \)

D.\(8\pi \)

A

Stożek powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(13\) i \(15\) wokół dłuższej przyprostokątnej. Promień podstawy tego stożka jest równy

A.\( 15 \)

B.\( 13 \)

C.\( 7{,}5 \)

D.\( 6{,}5 \)

B

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości \(6\). Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe:

A.\( 12\pi \)

B.\( 18\pi \)

C.\( 27\pi \)

D.\( 36\pi \)

B

Tworząca stożka jest o \(2\) dłuższa od promienia podstawy. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe \(15\pi \). Tworząca stożka ma zatem długość

A.\( 1 \)

B.\( 5 \)

C.\( 3 \)

D.\( 15 \)

B

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest ćwiartką koła o promieniu \(8\) cm. Oblicz wysokość tego stożka.

\(h=2\sqrt{15}\)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości \(12\). Wysokość stożka jest równa \(8\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

\(60\pi \)

Jeżeli wysokość stożka zwiększymy trzykrotnie, a długość promienia zmniejszymy trzy razy, to objętość nowego stożka:

A.zwiększy się trzy razy

B.zmniejszy się trzy razy

C.zmniejszy się dziewięć razy

D.nie zmieni się

B

Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest

A.sześć razy dłuższa od wysokości walca

B.trzy razy dłuższa od wysokości walca

C.dwa razy dłuższa od wysokości walca

D.równa wysokości walca

C

Metalowy stożek, którego tworząca o długości \(10\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ \), przetopiono na sześć jednakowych kulek. Oblicz promień kulki.

\(r=\frac{5}{2}\)

Kula ma objętość \(V = 288\pi\). Promień \(r\) tej kuli jest równy

A.\( 6 \)

B.\( 8 \)

C.\( 9 \)

D.\( 12 \)

A

Objętość kuli o promieniu \( \;r=\pi\;\text{dm}\; \) jest równa

A.\(\frac{4}{3}\pi\;\text{dm}^3 \)

B.\(\frac{4}{3}\pi^4\;\text{dm}^3 \)

C.\(\frac{3}{4}\pi^4\;\text{dm}^3 \)

D.\(\frac{3}{4}\pi^3\;\text{dm}^3 \)

B

W tym nagraniu wideo pokazuję jak zaznaczać różne kąty w bryłach.

Czas nagrania: 20 min.