Matura 2020 czerwiec

Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa

A.\( 1 \)

B.\( 3 \)

C.\( 1+2\sqrt{3} \)

D.\( 1-2\sqrt{3} \)

B

Liczba \(\frac{2^{50}\cdot 3^{40}}{36^{10}}\) jest równa

A.\( 6^{70} \)

B.\( 6^{45} \)

C.\( 2^{30}\cdot 3^{20} \)

D.\( 2^{10}\cdot 3^{20} \)

C

Liczba \(\log_5\sqrt{125}\) jest równa

A.\( \frac{2}{3} \)

B.\( 2 \)

C.\( 3 \)

D.\( \frac{3}{2} \)

D

Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o

A.\( 25\% \)

B.\( 20\% \)

C.\( 15\% \)

D.\( 12\% \)

A

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1-x)\gt 2(3x-1)-12x\) jest przedział

A.\( \left(-\frac{5}{3};+\∞ \right) \)

B.\( \left(-\∞;\frac{5}{3} \right) \)

C.\( \left(\frac{5}{3};+\∞ \right) \)

D.\( \left(-\∞;-\frac{5}{3} \right) \)

A

Suma wszystkich rozwiązań równania \(x(x-3)(x+2)=0\) jest równa

A.\( 0 \)

B.\( 1 \)

C.\( 2 \)

D.\( 3 \)

B

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (2,1)\).

Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

A.\( 1 \)

B.\( 2 \)

C.\( -2 \)

D.\( -1 \)

D

Funkcja \(f\) została określona w zadaniu 7.
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4\rangle \) jest równa

A.\( -3 \)

B.\( 0 \)

C.\( 1 \)

D.\( 2 \)

C

Funkcja \(f\) została określona w zadaniu 7.
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji \(f\) jest prosta o równaniu

A.\( x=1 \)

B.\( x=2 \)

C.\( y=1 \)

D.\( y=2 \)

B

Równanie \(x(x-2)=(x-2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych

A.nie ma rozwiązań.

B.ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x = 2\).

C.ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x = 0\).

D.ma dwa różne rozwiązania: \(x =1\) i \(x = 2\).

B

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax+b\).

Współczynniki \(a\) oraz \(b\) we wzorze funkcji \(f\) spełniają zależność

A.\( a+b\gt0 \)

B.\( a+b=0 \)

C.\( a\cdot b\gt0 \)

D.\( a\cdot b\lt0 \)

D

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=4^{-x}+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Liczba \(f\left(\frac{1}{2}\right)\) jest równa

A.\( \frac{1}{2} \)

B.\( \frac{3}{2} \)

C.\( 3 \)

D.\( 17 \)

B

Proste o równaniach \(y=(m-2)x\) oraz \(y=\frac{3}{4}x+7\) są równoległe. Wtedy

A.\( m=-\frac{5}{4} \)

B.\( m=\frac{2}{3} \)

C.\( m=\frac{11}{4} \)

D.\( m=\frac{10}{3} \)

C

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2n^2\) dla \(n\ge1\). Różnica \(a_5-a_4\) jest równa

A.\( 4 \)

B.\( 20 \)

C.\( 36 \)

D.\( 18 \)

D

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), czwarty wyraz jest równy \(3\), a różnica tego ciągu jest równa \(5\). Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

A.\( -42 \)

B.\( -36 \)

C.\( -18 \)

D.\( 6 \)

C

Punkt \(A=\left(\frac{1}{3},-1\right)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3x+b\). Wynika stąd, że

A.\( b=2 \)

B.\( b=1 \)

C.\( b=-1 \)

D.\( b=-2 \)

D

Punkty \(A, B, C, D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt środkowy \(DOC\) ma miarę \(118^\circ \) (zobacz rysunek). Miara kąta \(ABC\) jest równa

A.\( 59^\circ \)

B.\( 48^\circ \)

C.\( 62^\circ \)

D.\( 31^\circ \)

D

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(-1,6)\) jest określona równaniem

A.\( y=-2x+4 \)

B.\( y=-2x-8 \)

C.\( y=2x+8 \)

D.\( y=2x-4 \)

A

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha \) i \(\beta \) (zobacz rysunek).

Wyrażenie \(2\cos \alpha -\sin \beta\) jest równe

A.\( 2\sin \beta \)

B.\( \cos \alpha \)

C.\( 0 \)

D.\( 2 \)

B

Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(A=(-3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

A.\( 2\sqrt{34} \)

B.\( 8 \)

C.\( \sqrt{34} \)

D.\( 12 \)

A

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: \(1, 3, 5, 7, 9\), w których cyfry się nie powtarzają?

A.\( 10 \)

B.\( 15 \)

C.\( 20 \)

D.\( 25 \)

C

Pole prostokąta \(ABCD\) jest równe \(90\). Na bokach \(AB\) i \(CD\) wybrano – odpowiednio – punkty \(P\) i \(R\), takie, że \(\frac{|AP|}{|PB|}=\frac{|CR|}{|RD|}=\frac{3}{2}\) (zobacz rysunek).

Pole czworokąta \(APCR\) jest równe

A.\( 36 \)

B.\( 40 \)

C.\( 54 \)

D.\( 60 \)

C

Cztery liczby: \(2, 3, a, 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5, 3, 6, 8, 2\). Zatem

A.\( a=7 \)

B.\( a=6 \)

C.\( a=5 \)

D.\( a=4 \)

A

Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

A.\( 96 \)

B.\( 24\sqrt{3} \)

C.\( 192 \)

D.\( 16\sqrt{3} \)

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\). Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12 \text{cm}^3\).

Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

A.\( 20 \text{cm}^3 \)

B.\( 30 \text{cm}^3 \)

C.\( 39 \text{cm}^3 \)

D.\( 52{,}5 \text{cm}^3 \)

B

Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)\gt x-1\).

Rozwiąż równanie \((x^2-1)(x^2-2x)=0\)

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a-2b)+2b^2\gt 0\]

Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{\cos \alpha }=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha \).

Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle \).

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego krawędź boczna ma długość \(6\) (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy \(\sqrt{7}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.