Matura 2018 czerwiec

Dla \(x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \(y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \(x^2-2xy+y^2\) jest równa

A.\( 4 \)

B.\( 1 \)

C.\( \sqrt{2} \)

D.\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)

A

Dane są liczby: \(a=\log_{\frac{1}{2}}8\), \(b=\log_48\), \(c=\log_4\frac{1}{2}\). Liczby te spełniają warunek

A.\( a\gt b\gt c \)

B.\( b\gt a\gt c \)

C.\( c\gt b\gt a \)

D.\( b\gt c\gt a \)

D

Wskaż liczbę spełniającą nierówność \((4-x)(x+3)(x+4)\gt 0\).

A.\( 5 \)

B.\( 16 \)

C.\( -4 \)

D.\( -2 \)

D

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o \(10\%\) w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje \(1944\) złote. Stąd wynika, że przed tymi obniżkami ten komputer kosztował

A.\( 2200 \) złotych

B.\( 2300 \) złotych

C.\( 2400 \) złotych

D.\( 3000 \) złotych

C

Na rysunku przedstawiony jest przedział \((-10,k\rangle \), gdzie k jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa \(21\).

Stąd wynika, że

A.\( k=9 \)

B.\( k=11 \)

C.\( k=21 \)

D.\( k=31 \)

B

Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)

A.ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

B.ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.

C.ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

D.nie ma rozwiązań.

A

Liczbę \(\frac{224}{1111}\) można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest

A.\( 2 \)

B.\( 0 \)

C.\( 1 \)

D.\( 6 \)

D

Liczba \(\frac{8^{20}-2\cdot 4^{20}}{2^{20}\cdot 4^{10}}\) jest równa

A.\( 0 \)

B.\( 2^{20}-2 \)

C.\( 2^{19} \)

D.\( 4-2^{10} \)

B

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+2)^{-1}(x-3)^2\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne -2\). Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(2\) jest równa

A.\( -8 \)

B.\( -\frac{1}{2} \)

C.\( \frac{1}{2} \)

D.\( 8 \)

B

Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle 3,5\rangle \) jest

A.\( 4 \)

B.\( 3 \)

C.\( 0 \)

D.\( 5 \)

B

Funkcja liniowa \(f(x)=(1-m^2)x+m-1\) nie ma miejsc zerowych dla

A.\( m=1 \)

B.\( m=0 \)

C.\( m=-1 \)

D.\( m=-2 \)

Na jednym z rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem \(f(x)=-(x-1)(3-x)\). Wskaż ten rysunek.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\) określonego dla \(n\ge1\) są dodatnie i \(3a_2=2a_3\). Stąd wynika, że iloraz \(q\) tego ciągu jest równy

A.\( q=\frac{2}{3} \)

B.\( q=\frac{3}{2} \)

C.\( q=6 \)

D.\( q=5 \)

B

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\ge 1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa

A.\( r=-16 \)

B.\( r=-\frac{1}{2} \)

C.\( r=-\frac{1}{32} \)

D.\( r=15\frac{1}{2} \)

B

Liczba \(1-\operatorname{tg} 40^\circ \) jest

A.ujemna.

B.dodatnia, ale mniejsza od \( 0{,}1 \)

C.większa od \( 0{,}1 \), ale mniejsza od \(0{,}5\)

D.większa od \(0{,}5\)

C

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Na tym okręgu wybrano punkt \(C\), taki, że \(|OB|=|BC|\) (zobacz rysunek).

Pole trójkąta \(AOC\) jest równe

A.\( \frac{1}{2}r^2 \)

B.\( \frac{1}{4}r^2 \)

C.\( \frac{\pi}{4}r^2 \)

D.\( \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 \)

D

Okrąg o środku \(S_1=(2,1)\) i promieniu \(r\) oraz okrąg o środku \(S_2=(5,5)\) i promieniu \(4\) są styczne zewnętrznie. Wtedy

A.\( r=1 \)

B.\( r=2 \)

C.\( r=3 \)

D.\( r=4 \)

A

Długości boków trapezu równoramiennego są równe \(12, 13, 2, 13\).

Wysokość \(h\) tego trapezu jest równa

A.\( 5 \)

B.\( 8 \)

C.\( 10 \)

D.\( 12 \)

D

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku \(4:3:3:2\). Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

A.\( 60^\circ \)

B.\( 50^\circ \)

C.\( 40^\circ \)

D.\( 30^\circ \)

A

Dany jest walec, w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa \(27\pi\). Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy

A.\( 9 \)

B.\( 6 \)

C.\( 3 \)

D.\( 2 \)

C

Stożek o promieniu podstawy \(r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy

A.\( \frac{4}{3} \)

B.\( 12 \)

C.\( \sqrt{17} \)

D.\( 4 \)

D

Wśród \(100\) osób przeprowadzono ankietę, w której zadano pytanie o liczbę książek przeczytanych w ostatnim roku. Wyniki ankiety zebrano w poniższej tabeli.

Średnia liczba przeczytanych książek przez jedną ankietowaną osobę jest równa

A.\( 0{,}5 \)

B.\( 1 \)

C.\( 2 \)

D.\( 2{,}5 \)

C

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku \(15\). Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa

A.\( 9 \)

B.\( 7 \)

C.\( 6 \)

D.\( 5 \)

A

Liczba wszystkich dodatnich liczb czterocyfrowych parzystych, w których zapisie nie występują cyfry \(0\) i \(2\), jest równa

A.\( 8\cdot 8\cdot 8\cdot 3 \)

B.\( 8\cdot 7\cdot 6\cdot 3 \)

C.\( 8\cdot 10\cdot 10\cdot 4 \)

D.\( 9\cdot 8\cdot 7\cdot 4 \)

A

W pudełku znajdują się dwie kule: czarna i biała. Czterokrotnie losujemy ze zwracaniem jedną kulę z tego pudełka. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie trzy razy w czterech losowaniach wyciągniemy kulę koloru białego, jest równe

A.\( \frac{1}{16} \)

B.\( \frac{3}{8} \)

C.\( \frac{1}{4} \)

D.\( \frac{3}{4} \)

C

Rozwiąż nierówność \(2x(1-x)+1-x\lt 0\).

Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) jest parabola, na której leży punkt \(A=(0,-5)\). Osią symetrii tej paraboli jest prosta o równaniu \(x=7\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

\(b=-14\), \(c=-5\)

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Na boku \(CD\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=2|DE|\), a na boku \(AB\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|BF|=|DE|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(EF\) z prostą \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(AED\) i \(FPB\) są przystające.

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }\).

\(2\)

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Po przeprowadzonym doświadczeniu zapisujemy liczbę uzyskanych orłów (od \(0\) do \(4\)) i liczbę uzyskanych reszek (również od \(0\) do \(4\)). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tych czterech rzutach liczba uzyskanych orłów będzie większa niż liczba uzyskanych reszek.

\(\frac{5}{16}\)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla liczb naturalnych \(n\ge1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

\(a_1=-\frac{3}{4}\), \(r=\frac{1}{4}\)

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.

\(B=\left(\frac{43}{5},\frac{29}{5}\right)\)