Matura 2014 styczeń

Dane są liczby \( x=2+\sqrt{5}\) i \(\ y=3-\sqrt{5} \). Iloraz \( \frac{x}{y} \) można zapisać w postaci:

A.\( 8\sqrt{5} \)

B.\( \frac{7\sqrt{5}-9}{4} \)

C.\( \frac{-5\sqrt{5}}{2} \)

D.\( \frac{11}{4}+\frac{5}{4}\sqrt{5} \)

D

Zbiorem rozwiązań nierówności \( |x-2| > 7 \) jest przedział:

A.\((2,9) \)

B.\((-5,9) \)

C.\((-\∞,-5)\cup(9,+\∞) \)

D.\(( -\∞,-5 \rangle\cup\langle 9,+\∞ ) \)

C

Jeżeli \( \log_{\ x}\frac{1}{64}=-4 \), to liczba \( x \) jest równa:

A.\(\frac{1}{2} \)

B.\(2\sqrt{2} \)

C.\(2 \)

D.\(4 \)

B

Aby otrzymać wielomian \( W(x)=x^3+8\), należy pomnożyć wielomian \( P(x)=x+2 \) przez wielomian:

A.\(Q(x)=x^2+4 \)

B.\(Q(x)=x^2-2x+4 \)

C.\(Q(x)=x^2-4x+4 \)

D.\(Q(x)=x^2+2x+4 \)

B

Miejscem zerowym funkcji \( f(x)=\sqrt{2}\cdot x-\frac{\sqrt{8}}{4} \) jest liczba:

A.\(\frac{1}{2} \)

B.\(\sqrt{2} \)

C.\(-2 \)

D.\(2 \)

A

Najmniejszą liczbą naturalną, która nie spełnia nierówności \( x^2-7x-5\lt 0 \) jest:

A.\(0 \)

B.\(3 \)

C.\(7 \)

D.\(8 \)

D

Liczba \( x=3\sqrt{2} \) jest pierwiastkiem wielomianu \( W(x)= x^2 -2a \), gdy \( a \) jest równe

A.\(18 \)

B.\(-18 \)

C.\(9 \)

D.\(18\sqrt{2} \)

C

Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \( y=f(x) \), określonej dla \( x \in \langle -4,4 \rangle \).

Zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \( f \) przyjmuje wartości niedodatnie, to zbiór

A.\(\langle 0,3 )\cup ( 3,4 \rangle \)

B.\(\langle -4,-3 \rangle\cup \langle 0,4 \rangle \)

C.\((-4,-3)\cup (0,3)\cup (3,4) \)

D.\((-2,1)\cup (3,4) \)

B

Trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego \( (a_n) \) jest równy \(4\), a trzydziesty piąty wyraz tego ciągu jest równy \(7\). Wówczas różnica ciągu \( (a_n) \) jest równa

A.\( 5 \)

B.\( 3 \)

C.\( \frac{5}{3} \)

D.\( \frac{3}{5} \)

D

Dany jest ciąg geometryczny \( (a_n) \) , w którym \( a_1=64 \) i \( q=-\frac{1}{2} \). Wówczas

A.\(a_5=-4 \)

B.\(a_5=4 \)

C.\(a_5=2 \)

D.\(a_5=-2 \)

B

W trójkącie prostokątnym o bokach \(6, 8, 10\), tangens najmniejszego kąta jest równy

A.\(\frac{3}{4} \)

B.\(1\frac{1}{3} \)

C.\(\frac{3}{5} \)

D.\(\frac{4}{5} \)

A

Miara kąta \( \alpha \), zaznaczonego na rysunku, jest równa

A.\(35^\circ \)

B.\(55^\circ \)

C.\(70^\circ \)

D.\(110^\circ \)

B

Długość odcinka \( AB \), równoległego do odcinka \( CD \), jest równa

A.\( 6 \)

B.\( 3 \)

C.\( 2 \)

D.\( 4 \)

D

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości \(9\) jest równe

A.\(36\pi \)

B.\(9\pi \)

C.\(18\sqrt{3}\pi \)

D.\(12\pi \)

A

W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę \( 60^\circ \), a podstawy mają długość \(6\) i \(9\). Wysokość tego trapezu jest równa

A.\(6 \)

B.\(2\sqrt{3} \)

C.\(3\sqrt{3} \)

D.\(\frac{3\sqrt{3}}{2} \)

C

Prostą prostopadłą do prostej \( y=\frac{1}{2}x-1 \) i przechodzącą przez punkt \( A=(1,1) \) opisuje równanie

A.\(y=2x-1 \)

B.\(y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \)

C.\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \)

D.\(y=-2x+3 \)

D

Długość odcinka \( AB \), którego wierzchołki mają współrzędne \( A=(-3,-2) \) i \( B=(-1,4) \), jest równa

A.\(2\sqrt{5} \)

B.\(2\sqrt{10} \)

C.\(4\sqrt{2} \)

D.\(\sqrt{41} \)

B

Objętość kuli o promieniu \( \;r=\pi\;\text{dm}\; \) jest równa

A.\(\frac{4}{3}\pi\;\text{dm}^3 \)

B.\(\frac{4}{3}\pi^4\;\text{dm}^3 \)

C.\(\frac{3}{4}\pi^4\;\text{dm}^3 \)

D.\(\frac{3}{4}\pi^3\;\text{dm}^3 \)

B

W pudełku są \(4\) kule białe i \( x \) kul czerwonych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe \( \frac{3}{5} \), gdy

A.\(x=6 \)

B.\(x=8 \)

C.\(x=10 \)

D.\(x=12 \)

A

Objętość walca, w którym wysokość jest trzykrotnie dłuższa od promienia podstawy, jest równa \( 24\pi \). Zatem promień podstawy tego walca ma długość

A.\(4 \)

B.\(8 \)

C.\(2 \)

D.\(6 \)

C

Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność \( x^2-x-12\leqslant 0 \).

\(x\in \{1,2,3,4\} \) lub ewentualnie \(x\in \{0,1,2,3,4\} \) jeżeli \(0\) uznajemy za liczbę naturalną.

Liczby \(2, \log_{\frac{1}{2}}x, 8\) są (w podanej kolejności) wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz \( x \).

\(x=\frac{1}{32}\)

Uzasadnij, że \( \sqrt{5}+\sqrt{3}=\sqrt{8+2\sqrt{15}} \).

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \( \frac{2x^2+2x+4}{x^4+3x^3-4x^2-12x} \).

\(x\in \mathbb{R} \backslash \{-3,-2,0,2\}\)

Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych.

Spośród dodatnich liczb dwucyfrowych losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb parzystych.

\(\frac{22}{89}\)

Okrąg o środku w punkcie \( S=(-3,4) \) jest styczny do prostej o równaniu \( y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{3} \). Oblicz współrzędne punktu styczności.

\((1,7)\)

Trójkąty prostokątne \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(ABC\) mają długości \(5\) i \(12\), a przeciwprostokątna trójkąta\(DEF\) ma długość \(26\). Wyznacz pole trójkąta \(DEF\).

\(P=120\)

Pewien kierowca, jadąc z miasta \( A \) do miasta \( B \), zmierzył czas i prędkość jazdy. Drogę powrotną pokonał z prędkością o \(12\) km/h większą, w czasie o \( 12 \) minut krótszym. Z jaką średnią prędkością wracał kierowca do miasta \( A \), jeżeli wiadomo, że miasta te są oddalone od siebie o \(117\) km?

\(v=90\) km/h

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \( ABCDEFGH \) połączono punkty będące środkami krawędzi \( BC \), \( CD \), \( AD \) i \( GH \). Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że \( \vert{DB}\vert=5\sqrt{2} \) i kąt \( DBH \) ma miarę \( 60^\circ \).

\(V=\frac{125\sqrt{6}}{12}\)