Matura 2013 listopad

Suma liczby odwrotnej do liczby \( -4\frac{3}{5} \) i liczby przeciwnej do liczby \( \frac{18}{23} \) jest równa:

A.\(-1 \)

B.\(0 \)

C.\(\frac{21}{23} \)

D.\(1 \)

A

Wartość wyrażenia \( \frac{1}{2}\log_{3}\!15-\log_{3}\!\sqrt{5} \) jest równa:

A.\(-1 \)

B.\(\log_{3}\!3\sqrt{5} \)

C.\(\frac{1}{2} \)

D.\(1 \)

C

Suma przedziałów \( (-\∞ ,-11)\cup (7,+\∞) \) jest zbiorem rozwiązań nierówności:

A.\(|x+1|>10 \)

B.\(|x+2|>9 \)

C.\(|x-2|>11 \)

D.\(|x+1|\lt 10 \)

B

Niech \(k = 2 - 3\sqrt{2}\), zaś \(m = 1 - \sqrt{2}\). Wówczas wartość wyrażenia \(k^2 - 12m\) jest równa:

A.\( 21+12\sqrt{2} \)

B.\( 21-12\sqrt{2} \)

C.\( 10 \)

D.\( 34 \)

C

Liczba \(a\) stanowi \(40\%\) liczby \(b\). Wówczas:

A.\( b=0{,}4a \)

B.\( b=0{,}6a \)

C.\( b=2{,}5a \)

D.\( b=0{,}25a \)

C

Dziedziną funkcji \(f(x)=\frac{x+3}{x^3+4x}\) jest zbiór:

A.\( \mathbb{R} \backslash \{ -4,0 \} \)

B.\( \mathbb{R} \backslash \{ 0 \} \)

C.\( \mathbb{R} \)

D.\( \mathbb{R} \backslash \{ -2,0,2 \} \)

B

Proste o równaniach \(-3y - mx + 12 = 0\) oraz \(y = 6x - 12\) są prostopadłe dla \(m\) równego:

A.\( \frac{1}{2} \)

B.\( -18 \)

C.\( -\frac{1}{2} \)

D.\( 6 \)

A

Zbiorem wartości funkcji \(f(x) = -2(x + 3)(x - 4)\) jest przedział:

A.\( \left ( -\∞ , 24\frac{1}{2} \right \rangle \)

B.\( \left \langle -24\frac{1}{2},+\∞ \right ) \)

C.\( \left \langle 24\frac{1}{2},+\∞ \right ) \)

D.\( \left \langle -25\frac{1}{2},+\∞ \right ) \)

A

Na wykresie przedstawiony jest trójmian \(y = ax^2 + bx + c\).

Wynika z tego, że:

A.\( b\lt 0 \)

B.\( b>0 \)

C.\( b\le 0 \)

D.\( b\ge 0 \)

B

Wielomian \(W(x)\) jest stopnia czwartego. Pierwiastkiem dwukrotnym tego wielomianu jest liczba \(-1\). Po rozłożeniu na czynniki wielomian ten może być postaci:

A.\( -2(x-1)^2(x^2+1) \)

B.\( (x+1)^2(x-4) \)

C.\( -(x+1)^2(x^2+3) \)

D.\( (x-1)(x+1)(x+2)(x-3) \)

C

Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+2x}=0\) wynosi:

A.\( 5 \)

B.\( 4 \)

C.\( 3 \)

D.\( 2 \)

D

Dana jest funkcja \(h(x)=\left ( -\frac{1}{3}m+2 \right)x+\frac{3}{2}m-1\). Funkcja ta dla argumentu \(0\) przyjmuje wartość \(5\). Wówczas:

A.\( m=9 \)

B.\( m=6 \)

C.\( m=4 \)

D.\( m=2 \)

C

Ciąg \((b_n)\) określony jest wzorem \(b_n=(-1)^{2n+3}\cdot (n+1)\). Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równa:

A.\( -5 \)

B.\( -1 \)

C.\( 1 \)

D.\( 5 \)

A

W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy \(8\), zaś siódmy wyraz tego ciągu jest równy \(14\). Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy:

A.\( 21 \)

B.\( 23 \)

C.\( 24 \)

D.\( 3 \)

B

Pan Nowak wpłacił do banku \(k\) zł na procent składany. Oprocentowanie w tym banku wynosi \(4\%\) w skali roku, a odsetki kapitalizuje się co pół roku. Po \(6\) latach oszczędzania Pan Nowak zgromadzi na koncie kwotę:

A.\( k(1+0{,}02)^{12} \) zł

B.\( k(1+0{,}04)^{12} \) zł

C.\( k(1+0{,}02)^6 \) zł

D.\( k(1+0{,}4)^6 \) zł

A

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) o wysokościach \(CD\) i \(AE\) podstawa \(AB\) ma długość \(8\) cm, a odcinek \(BE\) ma długość \(3\) cm.

Długość odcinka \(AC\) jest równa:

A.\( 6 \) cm

B.\( \frac{32}{3} \) cm

C.\( \frac{28}{3} \) cm

D.\( \frac{33}{2} \) cm

B

W czworokącie \(OBMA\) kąty wewnętrzne \(AOB\) i \(AMB\) mają równe miary.

Wówczas kąt \(\alpha \) ma miarę:

A.\( 160^\circ \)

B.\( 120^\circ \)

C.\( 240^\circ \)

D.\( 210^\circ \)

C

W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych jest równa \(7\), zaś długość przeciwprostokątnej jest równa \(8\). Zatem tangens mniejszego kąta ostrego w tym trójkącie jest równy:

A.\( \frac{15}{7} \)

B.\( \frac{8}{15} \)

C.\( \frac{\sqrt{15}}{7} \)

D.\( \frac{7\sqrt{15}}{15} \)

C

Długość odcinka \(BD\) w trójkącie prostokątnym \(ABC\) jest równa:

A.\( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)

B.\( 4 \)

C.\( 4\sqrt{3} \)

D.\( 4\sqrt{2} \)

B

Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny jest równe \(\frac{16}{3}\pi \). Obwód tego trójkąta jest równy:

A.\( 12\sqrt{3} \)

B.\( 24 \)

C.\( 12 \)

D.\( 36 \)

B

Długość okręgu opisanego równaniem \(x^2-4x+y^2-4=0\) jest równa:

A.\( 4\sqrt{2}\pi \)

B.\( 4\pi \)

C.\( 2\sqrt{2}\pi \)

D.\( 8\sqrt{2}\pi \)

A

Punkty \(A=(-2,4)\) i \(C=(-6,2)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Zatem promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy:

A.\( 10 \)

B.\( 2 \)

C.\( \sqrt{5} \)

D.\( \sqrt{10} \)

C

Ze zbioru liczb \(\{1,2,3,4,6,8,12,14,15\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wybierzemy liczbę, której dzielnikiem jest liczba \(3\), wynosi:

A.\( \frac{5}{9} \)

B.\( \frac{4}{9} \)

C.\( \frac{1}{3} \)

D.\( \frac{2}{3} \)

B

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym objętość jest równa \(32\), zaś krawędź podstawy jest równa \(4\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

A.\( \frac{2}{3} \)

B.\( \frac{4}{3} \)

C.\( 2 \)

D.\( 6 \)

D

Rozwiąż nierówność: \(-2x^2+3x\lt 4\).

\(x\in \mathbb{R} \)

Dany jest wielomian \(W(x)=-2x^3+3x^2-(k+2)x-6\). Wyznacz wartość \(k\), wiedząc, że liczba \(-2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).

\(k=-13\)

Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny.

Maszt telekomunikacyjny rzuca cień, który jest \(2\) razy krótszy niż wysokość masztu. Oblicz cosinus kąta, pod jakim padają promienie słoneczne.

\(\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa \(8\) cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa \(2\) cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.

\(r_1=5\), \(r_2=3\)

Dany jest trójkąt \(ABC\), gdzie \(A=(-3,-2)\), \(B=(1,-1)\), \(C=(-1,4)\). Wyznacz równanie symetralnej boku \(AC\) tego trójkąta.

\(y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\)

Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał \(5\) zadań. Postanowił jednak, że w każdym następnym tygodniu będzie rozwiązywał o \(2\) zadania więcej niż w poprzednim tygodniu. W którym tygodniu liczba zadań rozwiązanych przez niego od początku nauki przekroczy \(480\)?

\(21\)

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o \(4\) krótsza od przekątnej podstawy i o \(8\) krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.

\(\sin \alpha =\frac{3}{5}\)

Ojciec i syn zbierają jabłka. Razem zebranie wszystkich jabłek zajęło im \(6\) godzin. Gdyby ojciec zbierał jabłka sam, to zajęłoby mu to o \(5\) godzin mniej, niż gdyby zbierał je sam jego syn. W jakim czasie ojciec sam zebrałby wszystkie jabłka?

w \(10\) godzin