Jeżeli \(a \gt 0, a \ne 1, b \gt 0\) oraz \( c \gt
0\), to zachodzą następujące wzory: \[ \begin{split} &\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\\[6pt]
&\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\\[6pt] &n\cdot
\log_ab=\log_a(b^n)=\log_{a^{\frac{1}{n}}}b\\[6pt] &a^{\log_ab}=b\\[6pt]
&\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} \end{split} \] Poniżej prezentuję te same wzory z dodatkowymi
informacjami i przykładami.
Wzór 1 i 2
Dodawanie i odejmowanie logarytmów o tej samej podstawie:
\[\log_ab+\log_ac=\log_a(b\cdot c)\] \[\log_ab-\log_ac=\log_a\left(\frac{b}{c}\right)\] Przykład 1:
\[\log_26+\log_2\frac{2}{3}=\log_2\left(6\cdot \frac{2}{3}\right)=\log_24=2\] Przykład 2:
\[\log_318-\log_32=\log_3\left(\frac{18}{2}\right)=\log_39=2\]
Wzór 3
Wyciąganie wykładnika potęgi przed logarytm: \[\begin{split} &\log_a(b^n)=n\cdot
\log_ab\\[6pt] &\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\log_ab \end{split}\] Przykład:
\[\log_27^3=3\log_27=\log_{2^{\frac{1}{3}}}7=\log_\sqrt[3]{2}7\] Oba wzory wynikają bezpośrednio z
definicji logarytmu.
Najpierw pokażemy, że zachodzi wzór: \(\log_a(b^n)=n\cdot
\log_ab\).
Załóżmy, że \(\log_ab=c\). Wówczas mamy: \[a^c=b\] Możemy podnieść obie strony
równania do potęgi \(n\): \[a^{nc}=b^n\] Teraz zapisujemy równanie w postaci logarytmicznej
korzystając z definicji logarytmu: \[\log_ab^n=nc\] Skoro \(\log_ab=c\), zatem mamy:
\[\log_ab^n=n\cdot \log_ab \ _\blacksquare\]
Teraz podobnie pokażemy, że zachodzi wzór:
\(\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\log_ab\).
Załóżmy, że \(\log_ab=c\). Wówczas mamy: \[a^c=b\]
Podnosimy obie strony równania do potęgi \(n\): \[ a^{nc}=b^n\\[6pt] (a^n)^c=b^n \] Zapisujemy
równanie w postaci logarytmicznej: \[\log_{a^n}b^n=c\] Korzystając z poprzedniego wzoru, mamy:
\[n\log_{a^n}b=c\] Czyli: \[\log_{a^n}b=\frac{1}{n}c\] Korzystamy z założenia: \(\log_ab=c\) i
otrzymujemy: \[\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\cdot \log_ab \ _\blacksquare\]
Korzystając ze wzoru na zamianę podstaw logarytmów również bardzo łatwo można
udowodnić ten wzór: \[\log_{a^n}b=\frac{\log_ab}{\log_aa^n}=\frac{\log_ab}{n}=\frac{1}{n}\log_ab
\ _\blacksquare\]