Interpretacja geometryczna liczby zespolonej

W rozdziale Definicja powiedzieliśmy, że każdej liczbie zespolonej \(z=a+bi\) odpowiada uporządkowana para liczb \((a,b)\).

Przykłady zapisania liczby zespolonej na dwa różne sposoby.

Liczba zespolona zapisana w postaci ogólnej	Liczba zespolona zapisana jako punkt
\(a + bi\)	\((a, b)\)
\(2 + 5i\)	\((2, 5)\)
\(5 + 2i\)	\((5, 2)\)
\(7 - i\)	\((7, -1)\)
\(-8 - 2i\)	\((-8, -2)\)
\(i\)	\((0, 1)\)
\(1\)	\((1, 0)\)
\(0\)	\((0, 0)\)

Możemy interpretować liczby zespolone jako punkty na płaszczyźnie.
Na osi \(x\)-ów będziemy zaznaczać część rzeczywistą liczby zespolonej, a na osi \(y\)-ów część urojoną.

Oto przykłady kilku konkretnych liczb zespolonych zaznaczonych w układzie współrzędnych:

W powyższym układzie współrzędnych zaznaczyłem również liczby sprzężone do \(z_1\), \(z_2\) oraz \(z_4\). Zauważ, że są one po prostu odbiciami symetrycznymi względem osi \(x\)-ów.

Zaznaczymy teraz jeden ogólny punkt na płaszczyźnie zespolonej i określimy dla niego kilka własności.

Odległość liczby zespolonej \(z=a+bi\) od początku układu współrzędnych, z twierdzenia Pitagorasa, wyraża się wzorem:

Czyli jest to po prostu moduł tej liczby \(z\).

Kąt między osią Re, a półprostą wychodzącą z początku układu współrzędnych i przechodzącą przez punkt \(z\) oznaczamy najczęściej literką \(\varphi\) (czytamy: fi).

Miarę zaznaczonego kąta \(\varphi\) będziemy zazwyczaj wyrażać w radianach (a nie w stopniach). Możemy zatem napisać, że \(\varphi\in \mathbb{R} \).

Liczbę \(\varphi\) nazywamy argumentem liczby \(z\) i oznaczamy \(\operatorname{arg} z\).
Dla liczby \(z\) którą zaznaczyliśmy w powyższym układzie współrzędnych mamy: \[\operatorname{arg} z = \varphi \] Korzystając wprost z definicji funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego narysowanego w powyższym układzie współrzędnych, otrzymujemy:

Wzory po prawej stronie otrzymaliśmy z tych po lewej, po prostu podstawiając do nich wzór na moduł. Dla wygody dalej będziemy posługiwali się głównie tymi wzorami po lewej (bo są krótsze w zapisie). Bezpośrednio z nich otrzymujemy, że:

Możemy zatem zapisać, że:

Wzór który otrzymaliśmy:

to postać trygonometryczna liczby zespolonej \(z=a+bi\).

Wiemy już, że możemy przedstawić jedną liczbę zespoloną na trzy różne sposoby:

w postaci ogólnej \(z=a+bi\),
jako punkt \((a,b)\) na płaszczyźnie,
w postaci trygonometrycznej \(z=|z|(\cos \varphi + i\sin \varphi)\).

Każda z nich ma swoje plusy i minusy. Zaletą postaci trygonometrycznej jest to, że umożliwia w łatwy sposób podnoszenie liczb zespolonych do dużych potęg. Więcej na ten temat powiemy w rozdziale Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych.

Dla liczby zespolonej\(z=\sqrt{3}+i\) wyznacz moduł, argument oraz postać trygonometryczną.

Zacznijmy od zaznaczenia liczby \(z\) w układzie współrzędnych:

Obliczamy moduł z twierdzenia Pitagorasa:

Teraz obliczamy argument, np. korzystając z definicji sinusa:

Zatem:

Możemy nawet zapisać, że:

Teraz zapisujemy postać trygonometryczną, podstawiając do wzoru wyliczone przed chwilą wartości:

Możemy jeszcze sprawdzić, że obliczając wartości liczbowe funkcji trygonometrycznych w powyższym wzorze, otrzymamy wyjściową postać ogólną: