Dwumianem Newtona nazywamy wzór:
\[(x+y)^n=\binom{n}{0}x^ny^0+\binom{n}{1}x^{n-1}y^1+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n-1}x^1y^{n-1}+\binom{n}{n}x^0y^n
\] gdzie symbol \(\binom{n}{k} \) oznacza współczynnik dwumianowy i jest obliczany ze wzoru:
\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \]
Zauważmy, że każdy dwumian ma sumę
wykładników równą \(n\). Przykładowo dla dwumianu: \[\binom{n}{2}x^{n-2}y^2\] mamy sumę wykładników
potęg równą: \[(n-2)+2=n\]
Jeśli zauważymy, że \(x^0=1\) oraz \(y^0=1\) (musimy przy tym założyć, że \(x\ne
0\) i \(y\ne 0\), ponieważ wyrażenie \(0^0\) jest nieoznaczone), to możemy zapisać wzór dwumianowy
prościej:
\[(x+y)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}y+\binom{n}{2}x^{n-2}y^2+...+\binom{n}{n-1}xy^{n-1}+\binom{n}{n}y^n
\]
Ze wzoru dwumianowego można wyprowadzać wzory skróconego mnożenia.
\[ \begin{split} (x+y)^2&=\binom{2}{0}x^2+\binom{2}{1}xy+\binom{2}{2}y^2=\\[6pt] &=\frac{2!}{0!\cdot
(2-0)!}x^2+\frac{2!}{1!\cdot (2-1)!}xy + \frac{2!}{2!\cdot (2-2)!}y^2=\\[6pt]
&=\frac{2}{2}x^2+\frac{2}{1}xy+\frac{2}{2}y^2=\\[6pt] &=x^2+2xy+y^2 \end{split} \]
Rachunek w powyższym przykładzie może wyglądać na skomplikowany, ale w istocie
taki nie jest. Gdy umiemy sprawnie liczyć symbole Newtona \(\binom{n}{k} \), to taki rachunek możemy
wykonać dużo szybciej:
\[ \begin{split}
(x+y)^3&=\binom{3}{0}x^3+\binom{3}{1}x^2y+\binom{3}{2}xy^2+\binom{3}{3}y^3 =\\[6pt]
&=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \end{split} \]
Wzór tak samo działa jeśli zamiast literek występują liczby:
Rozpisz wyrażenie \((x+7)^3\) stosując dwumian Newtona.
\[
\begin{split} (x+7)^3 &=\binom{3}{0}x^3\cdot 7^0+\binom{3}{1}x^2\cdot 7^1+\binom{3}{2}x^1\cdot
7^2+\binom{3}{3}x^0\cdot7^3=\\[6pt] &=x^3+3x^2\cdot 7+3x\cdot 49+7^3=\\[6pt]
&=x^3+21x^2+147x+343 \end{split} \]