Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym oznaczmy jeden kąt ostry literką \(\alpha\):

Boki \(a\) oraz \(b\) - to przyprostokątne trójkąta prostokątnego.
Bok \(c\) - to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego.

Przy powyższych oznaczeniach mamy następujące definicje funkcji trygonometrycznych:

\[\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{a}{c}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{b}{c}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{a}{b}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{b}{a} \end{split}\] Pisząc słowami: \[\begin{split} &\sin{\alpha }=\frac{\text{przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta}\ \alpha }{\text{przeciwprostokątna}}\\[14pt]&\cos{\alpha }=\frac{\text{przyprostokątna leżąca przy kącie}\ \alpha }{\text{przeciwprostokątna}}\\[14pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{\text{przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta}\ \alpha }{\text{przyprostokątna leżąca przy kącie}\ \alpha }\\[14pt]&\text{ctg}{\alpha }=\frac{\text{przyprostokątna leżąca przy kącie}\ \alpha }{\text{przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta}\ \alpha } \end{split}\]

Graficzna metoda zapamiętania

Aby obliczyć sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to:

patrzymy najpierw na bok naprzeciwko kąta,
potem na przeciwprostokątną.

Aby obliczyć cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to:

patrzymy najpierw na przyprostokątną przy kącie,
potem na przeciwprostokątną.

Aby obliczyć tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to:

patrzymy najpierw na bok naprzeciwko kąta,
potem na drugą przyprostokątną.

Aby obliczyć cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to:

patrzymy najpierw na przyprostokątną przy kącie,
potem na drugą przyprostokątną.

Podaj wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla zaznaczonego kąta \(\alpha \). [obrazek dla przykładu 1]

Bezpośrednio z rysunku odczytujemy, że: \[\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{4}{5}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{3}{5}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{4}{3}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{3}{4} \end{split}\]

Podaj wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla zaznaczonego kąta \(\beta\). [obrazek dla przykładu 21]

Z danego rysunku odczytujemy, że: \[\begin{split} &\\&\sin{\beta}=\frac{3}{5}\qquad \qquad &\cos{\beta}=\frac{4}{5}\\[10pt]&\text{tg}{\beta}=\frac{3}{4}\qquad \qquad &\text{ctg}{\beta}=\frac{4}{3} \end{split}\]

Podaj wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta \(\alpha \) zaznaczonego na rysunku.

Bezpośrednio z rysunku odczytujemy, że: \[\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{51}}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{7}{\sqrt{51}}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{7}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{7}{\sqrt{2}} \end{split}\]

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta \(\alpha \) zaznaczonego na rysunku.

Na początku musimy obliczyć długość przeciwprostokątnej \(AB\). Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: \[\begin{split} |AB|^2&=1^2+3^2\\|AB|^2&=1+9\\|AB|^2&=10\\|AB|&=\sqrt{10} \end{split}\] Zatem: \[\begin{split} &\\&\sin{\alpha }=\frac{3}{\sqrt{10}}\qquad \qquad &\cos{\alpha }=\frac{1}{\sqrt{10}}\\[10pt]&\text{tg}{\alpha }=\frac{3}{1}\qquad \qquad &\text{ctg}{\alpha }=\frac{1}{3} \end{split}\]